X * [[3, - 1], [4, 5]] = [[- 1, 2], [- 3, 5]]
Давайте разберем данную задачу, которая связана с умножением матриц. У нас есть матрица \( X \), которую мы умножаем на матрицу \( A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \), и результатом этого умножения должна быть матрица \( B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \).
Шаг 1: Определим размеры матриц
- Матрица \( A \) имеет размер \( 2 \times 2 \).
- Результирующая матрица \( B \) также имеет размер \( 2 \times 2 \).
Чтобы умножение матрицы \( X \) на матрицу \( A \\) было возможно, матрица \( X \) должна иметь размер \( 2 \times 2 \) (так как мы знаем, что результат и матрица \( A \) имеют размер \( 2 \times 2 \)).
Предположим, что \( X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).
Шаг 2: Выполним умножение матриц
Умножаем матрицу \( X \) на матрицу \( A \):
\[ X \cdot A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \]
Для получения элементов результирующей матрицы, мы используем формулу для умножения матриц:
Первый элемент первой строки: \[ (3a) + (-1b) = 3a - b \]
Второй элемент первой строки: \[ (4a) + (5b) = 4a + 5b \]
Первый элемент второй строки: \[ (3c) + (-1d) = 3c - d \]
Второй элемент второй строки: \[ (4c) + (5d) = 4c + 5d \]
Таким образом, мы получаем результирующую матрицу:
\[ X \cdot A = \begin{pmatrix} 3a - b & 4a + 5b \\ 3c - d & 4c + 5d \end{pmatrix} \]
Шаг 3: Приравняем элементы к элементам матрицы \( B \)
Теперь, сопоставим элементы полученной матрицы с элементами матрицы \( B \):
Из первого элемента: \[ 3a - b = -1 \quad \text{(1)} \]
Из второго элемента: \[ 4a + 5b = 2 \quad \text{(2)} \]
Из третьего элемента: \[ 3c - d = -3 \quad \text{(3)} \]
Из четвертого элемента: \[ 4c + 5d = 5 \quad \text{(4)} \]
Шаг 4: Решение системы уравнений
Решим систему уравнений, начиная с первой пары. Мы можем решить уравнения (1) и (2).
Из (1): \[ b = 3a + 1 \] Подставим \( b \) в (2): \[ 4a + 5(3a + 1) = 2 \] Раскроем скобки: \[ 4a + 15a + 5 = 2 \] Теперь объединим подобные: \[ 19a + 5 = 2 \] Вычтем 5: \[ 19a = 2 - 5 \Rightarrow 19a = -3 \] Разделим на 19: \[ a = -\frac{3}{19} \]
Теперь подставим \( a \) обратно в (1): \[ b = 3\left(-\frac{3}{19}\right) + 1 = -\frac{9}{19} + \frac{19}{19} = \frac{10}{19} \]
Теперь можно решить систему (3) и (4) для \( c \) и \( d \):
Из (3): \[ d = 3c + 3 \] подставим в (4): \[ 4c + 5(3c + 3) = 5 \] Раскроем скобки: \[ 4c + 15c + 15 = 5 \] Объединим подобные: \[ 19c + 15 = 5 \] Вычтем 15: \[ 19c = 5 - 15 \Rightarrow 19c = -10 \] Разделим на 19: \[ c = -\frac{10}{19} \]
Подставим \( c \) обратно в (3): \[ d = 3\left(-\frac{10}{19}\right) + 3 = -\frac{30}{19} + \frac{57}{19} = \frac{27}{19} \]
Шаг 5: Итоговое решение
Теперь мы нашли все элементы матрицы \( X \): \[ X = \begin{pmatrix} -\frac{3}{19} & \frac{10}{19} \\ -\frac{10}{19} & \frac{27}{19} \end{pmatrix} \]
Таким образом, мы пришли к ответу, и теперь вы понимаете процесс умножения матриц и получили значение матрицы \( X \). Если у вас остались вопросы или нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь спрашивать!
