X * [[3, - 1], [4, 5]] = [[- 1, 2], [- 3, 5]]

Для решения данной задачи нам нужно определить матрицу \( X \) в уравнении:

\[ X \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} \]

Шаг 1: Обозначим матрицу \( X \)

Пусть матрица \( X \) имеет вид:

\[ X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

Шаг 2: Произведение матриц

Теперь мы можем найти произведение \( X \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \). Произведение матриц вычисляется следующим образом:

\[ X \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \cdot 3 + b \cdot 4 & a \cdot (-1) + b \cdot 5 \\ c \cdot 3 + d \cdot 4 & c \cdot (-1) + d \cdot 5 \end{bmatrix} \]

Шаг 3: Уравнение матриц

Сравнив полученное произведение с правой частью уравнения:

\[ \begin{bmatrix} a \cdot 3 + b \cdot 4 & a \cdot (-1) + b \cdot 5 \\ c \cdot 3 + d \cdot 4 & c \cdot (-1) + d \cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} \]

Мы можем записать систему уравнений:

1. \( 3a + 4b = -1 \) (1)
2. \( -a + 5b = 2 \) (2)
3. \( 3c + 4d = -3 \) (3)
4. \( -c + 5d = 5 \) (4)

Шаг 4: Решение системы уравнений

Решим первую и вторую пары уравнений (1) и (2):

1. Умножим второе уравнение на 3:

   \( -3a + 15b = 6 \) (2')

2. Теперь сложим (1) и (2'):

   \( (3a + 4b) + (-3a + 15b) = -1 + 6 \)

   \( 19b = 5 \)

   \( b = \frac{5}{19} \)

3. Подставим значение \( b \) в (1):

   \( 3a + 4 \cdot \frac{5}{19} = -1 \)

   \( 3a + \frac{20}{19} = -1 \)

   Умножим всё на 19:

   \( 57a + 20 = -19 \)

   \( 57a = -39 \)

   \( a = -\frac{39}{57} = -\frac{13}{19} \)

Теперь у нас есть \( a \) и \( b \):

\[ a = -\frac{13}{19}, \quad b = \frac{5}{19} \]

Решим третью и четвертую пары уравнений (3) и (4):

1. Умножим (4) на 4:

   \( -4c + 20d = 20 \) (4')

2. Теперь сложим (3) и (4'):

   \( (3c + 4d) + (-4c + 20d) = -3 + 20 \)

   \( -c + 24d = 17 \)

   \( c = 24d - 17 \)

Подставим \( c \) в (3):

\[ 3(24d - 17) + 4d = -3 \]

\[ 72d - 51 + 4d = -3 \]

\[ 76d - 51 = -3 \]

\[ 76d = 48 \Rightarrow d = \frac{48}{76} = \frac{12}{19} \]

Теперь подставим значение \( d \) в \( c = 24d - 17 \):

\[ c = 24 \cdot \frac{12}{19} - 17 = \frac{288}{19} - \frac{323}{19} = -\frac{35}{19} \]

Шаг 5: Подводим итог

Наконец, подставив все найденные значения, мы получаем:

\[ X = \begin{bmatrix} -\frac{13}{19} & \frac{5}{19} \\ -\frac{35}{19} & \frac{12}{19} \end{bmatrix} \]

Таким образом, матрица \( X \) равна:

\[ \boxed{\begin{bmatrix} -\frac{13}{19} & \frac{5}{19} \\ -\frac{35}{19} & \frac{12}{19} \end{bmatrix}} \]