Чтобы найти косинус угла ( ABC ) в треугольнике ( ABC ) с заданными сторонами ( a ), ( b ), и ( c ), можно воспользоваться теоремой косинусов. Согласно этой теореме, для треугольника со сторонами ( a ), ( b ), и ( c ) и углом ( C ), который противолежит стороне ( c ), выполняется следующее равенство:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
В нашей задаче:
- ( ab = c = 5 ) (сторона, против которой ищем угол ( ABC )),
- ( bc = a = 7 ),
- ( ac = b = 9 ).
Теперь подставим значения в формулу и найдем ( \cos ABC ):
- Сначала найдем ( c^2 ):
[
c^2 = 5^2 = 25
]
- Найдем ( a^2 ) и ( b^2 ):
[
a^2 = 7^2 = 49
]
[
b^2 = 9^2 = 81
]
- Подставляем все значения в формулу теоремы косинусов:
[
25 = 49 + 81 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos(ABC)
]
- Упрощаем уравнение:
[
25 = 130 - 126 \cdot \cos(ABC)
]
- Переносим 130 в левую часть:
[
25 - 130 = -126 \cdot \cos(ABC)
]
[
-105 = -126 \cdot \cos(ABC)
]
- Убираем знак минус:
[
105 = 126 \cdot \cos(ABC)
]
- Теперь, делим обе стороны на 126:
[
\cos(ABC) = \frac{105}{126}
]
- Упрощаем дробь:
[
\cos(ABC) = \frac{5}{6}
]
Итак, угол ( ABC ) имеет косинус, равный ( \frac{5}{6} ).
