Записать свойство Р путем перечисления его элементов, если Р<А Р={(х;у):х2+у2=2} А={-1;-8;1;4} В={0;2;1;4}

Чтобы решить задачу, начнем с понимания, что такое множество \( R \), заданное в виде \((x; y)\), где выполняется условие \( x^2 + y^2 = 2 \). Это уравнение описывает окружность радиусом \(\sqrt{2}\), центрированную в данной точке (0, 0).

Шаг 1: Найдем элементы множества \( R \)

Мы должны найти такие \( (x, y) \), которые удовлетворяют уравнению \( x^2 + y^2 = 2 \).

Подбор значений для \( x \)

Поскольку для \( R \) (то есть парам \( (x, y) \)) важны только те значения \( x \), которые имеют квадраты, не превышающие 2, мы можем подставлять различные значения \( x \) и находить соответствующие значения \( y \):

1. Если \( x = 0 \): \[ y^2 = 2 \Rightarrow y = \pm \sqrt{2} \] Пары: \( (0, \sqrt{2}) \) и \( (0, -\sqrt{2}) \)

2. Если \( x = 1 \): \[ 1^2 + y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \] Пары: \( (1, 1) \) и \( (1, -1) \)

3. Если \( x = -1 \): \[ (-1)^2 + y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \] Пары: \( (-1, 1) \) и \( (-1, -1) \)

4. Если \( x = \sqrt{2} \): \[ (\sqrt{2})^2 + y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = 0 \Rightarrow y = 0 \] Пара: \( (\sqrt{2}, 0) \)

5. Если \( x = -\sqrt{2} \): \[ (-\sqrt{2})^2 + y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = 0 \Rightarrow y = 0 \] Пара: \( (-\sqrt{2}, 0) \)

Итого, множество \( R \):

\[ R = \{ (0, \sqrt{2}), (0, -\sqrt{2}), (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1), (\sqrt{2}, 0), (-\sqrt{2}, 0) \} \]

Шаг 2: Записываем элементы множества

Теперь необходимо перечислить элементы множества \( R \) в соответствии с условием \( R < A \). Учитывая, что \( A = \{-1, -8, 1, 4\} \), определим, какие элементы из \( R \) меньше любых из элементов множества \( A \).

Пара \( (x, y) \) считается меньше \( A \), если и \( x \), и \( y \) меньше любого элемента \( A \):

Элементы множества \( A \):

• Наименьший элемент \( A \) — это \(-8\).

Теперь проверим все пары \( (x, y) \) из \( R \):

1. \( (0, \sqrt{2}) \): \( 0 \) и \( \sqrt{2} \) больше \( -8 \) — не подходит.
2. \( (0, -\sqrt{2}) \): \( 0 \) больше \( -8 \) — не подходит.
3. \( (1, 1) \): оба больше \( -8 \) — не подходит.
4. \( (1, -1) \): \( 1 \) больше \( -8 \) — не подходит.
5. \( (-1, 1) \): \( -1 \) больше \( -8 \) — не подходит.
6. \( (-1, -1) \): \( -1 \) больше \( -8 \) — не подходит.
7. \( (\sqrt{2}, 0) \): оба больше \( -8 \) — не подходит.
8. \( (-\sqrt{2}, 0) \): \(-\sqrt{2}\) больше \( -8\) — не подходит.

Результат

Таким образом, для данного \( A \) не существует ни одной пары \( (x, y) \) из множества \( R \), которая была бы меньше всех элементов \( A \). Следовательно:

\[ R < A \implies \text{пустое множество} \]

Ответ:

\( R = \emptyset \) (пустое множество)