√(4х^2 -3х-1) =х+1
Давайте решим приведенное уравнение шаг за шагом:
Уравнение
\[ \sqrt{4x^2 - 3x - 1} = x + 1 \]
Шаг 1: Избавимся от квадратного корня
Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
\[ (\sqrt{4x^2 - 3x - 1})^2 = (x + 1)^2 \]
Это дает нам:
\[ 4x^2 - 3x - 1 = (x + 1)(x + 1) \]
Шаг 2: Раскроем скобки
Теперь раскроем правую часть:
\[ 4x^2 - 3x - 1 = x^2 + 2x + 1 \]
Шаг 3: Переносим все в одну сторону
Переносим все выражения на одну сторону уравнения:
\[ 4x^2 - 3x - 1 - x^2 - 2x - 1 = 0 \]
Это можно упростить:
\[ (4x^2 - x^2) + (-3x - 2x) + (-1 - 1) = 0 \]
Что приводит к:
\[ 3x^2 - 5x - 2 = 0 \]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = -2\).
Шаг 5: Находим дискриминант
Сначала найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \]
Шаг 6: Находим корни
Теперь подставим дискриминант в формулу:
\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6} \]
Таким образом, у нас получится два решения:
Сложим: \[ x_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]
Вычтем: \[ x_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]
Шаг 7: Проверка корней
Теперь нужно проверить, подходят ли найденные корни к изначальному уравнению.
Для \(x = 2\): \[ \sqrt{4(2)^2 - 3(2) - 1} = \sqrt{16 - 6 - 1} = \sqrt{9} = 3 \] Справа: \[ 2 + 1 = 3 \] Корень подходит.
Для \(x = -\frac{1}{3}\): \[ \sqrt{4\left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{3}\right) - 1} = \sqrt{\frac{4}{9} + 1 - 1} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \] Справа: \[ -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \] Корень также подходит.
Ответ
Уравнение имеет два решения: \[ x_1 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{1}{3} \]
