√(4х^2 -3х-1) =х+1

Давайте решим приведенное уравнение шаг за шагом: ### Уравнение \[ \sqrt{4x^2 - 3x - 1} = x + 1 \] ### Шаг 1: Избавимся от квадратного корня Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (\sqrt{4x^2 - 3x - 1})^2 = (x + 1)^2 \] Это дает нам: \[ 4x^2 - 3x - 1 = (x + 1)(x + 1) \] ### Шаг 2: Раскроем скобки Теперь раскроем правую часть: \[ 4x^2 - 3x - 1 = x^2 + 2x + 1 \] ### Шаг 3: Переносим все в одну сторону Переносим все выражения на одну сторону уравнения: \[ 4x^2 - 3x - 1 - x^2 - 2x - 1 = 0 \] Это можно упростить: \[ (4x^2 - x^2) + (-3x - 2x) + (-1 - 1) = 0 \] Что приводит к: \[ 3x^2 - 5x - 2 = 0 \] ### Шаг 4: Решим квадратное уравнение Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = -2\). ### Шаг 5: Находим дискриминант Сначала найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \] ### Шаг 6: Находим корни Теперь подставим дискриминант в формулу: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6} \] Таким образом, у нас получится два решения: 1. Сложим: \[ x_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 \] 2. Вычтем: \[ x_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \] ### Шаг 7: Проверка корней Теперь нужно проверить, подходят ли найденные корни к изначальному уравнению. **Для \(x = 2\)**: \[ \sqrt{4(2)^2 - 3(2) - 1} = \sqrt{16 - 6 - 1} = \sqrt{9} = 3 \] Справа: \[ 2 + 1 = 3 \] Корень подходит. **Для \(x = -\frac{1}{3}\)**: \[ \sqrt{4\left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{3}\right) - 1} = \sqrt{\frac{4}{9} + 1 - 1} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \] Справа: \[ -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \] Корень также подходит. ### Ответ Уравнение имеет два решения: \[ x_1 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{1}{3} \]