На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки 𝑃 (1; 0) на угол: a)3π/4 б)−5π/4 в)6,5π г)225

Для решения этой задачи, мы рассмотрим единичную окружность и используем понятия тригонометрии.

На единичной окружности точка \( P(1, 0) \) представляет собой координаты точки на окружности, где угол равен \( 0 \) радиан (или \( 0 \) градусов). Чтобы найти координаты новой точки после поворота точки \( P \) на заданный угол, мы можем использовать следующие формулы:

• Новые координаты точки после поворота на угол \( \theta \):

\[ x' = \cos(\theta) \] \[ y' = \sin(\theta) \]

Теперь давайте найдем новые координаты для каждого из указанных углов.

a) Угол \( \frac{3\pi}{4} \)

1. Вычисляем косинус и синус угла:

\[ x' = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ y' = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, координаты точки после поворота на угол \( \frac{3\pi}{4} \) будут:

\[ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

б) Угол \( -\frac{5\pi}{4} \)

1. Вычисляем косинус и синус угла:

\[ x' = \cos\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ y' = \sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Координаты точки после поворота на угол \( -\frac{5\pi}{4} \):

\[ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

в) Угол \( 6.5\pi \)

1. Угол \( 6.5\pi \) можно преобразовать, уменьшив его до угла, лежащего в пределах \( [0, 2\pi) \): \( 6.5\pi - 6\pi = 0.5\pi \)

2. Вычисляем косинус и синус:

\[ x' = \cos\left(0.5\pi\right) = 0 \] \[ y' = \sin\left(0.5\pi\right) = 1 \]

Координаты точки после поворота на угол \( 6.5\pi \):

\[ (0, 1) \]

г) Угол \( 225^\circ \)

1. Переведем угол в радианы: \( 225^\circ = \frac{225 \cdot \pi}{180} = \frac{5\pi}{4} \)

2. Вычисляем косинус и синус:

\[ x' = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ y' = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Координаты точки после поворота на угол \( 225^\circ \):

\[ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

Итоговые координаты для каждого угла:

• a) \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
• б) \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
• в) \((0, 1)\)
• г) \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

Так мы получили координаты точек на единичной окружности после поворота на заданные углы.