На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки 𝑃 (1; 0) на угол: a)3π/4 б)−5π/4 в)6,5π г)225

Для решения этой задачи, мы рассмотрим единичную окружность и используем понятия тригонометрии. На единичной окружности точка \( P(1, 0) \) представляет собой координаты точки на окружности, где угол равен \( 0 \) радиан (или \( 0 \) градусов). Чтобы найти координаты новой точки после поворота точки \( P \) на заданный угол, мы можем использовать следующие формулы: - Новые координаты точки после поворота на угол \( \theta \): \[ x' = \cos(\theta) \] \[ y' = \sin(\theta) \] Теперь давайте найдем новые координаты для каждого из указанных углов. ### a) Угол \( \frac{3\pi}{4} \) 1. Вычисляем косинус и синус угла: \[ x' = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ y' = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Таким образом, координаты точки после поворота на угол \( \frac{3\pi}{4} \) будут: \[ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] ### б) Угол \( -\frac{5\pi}{4} \) 1. Вычисляем косинус и синус угла: \[ x' = \cos\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ y' = \sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Координаты точки после поворота на угол \( -\frac{5\pi}{4} \): \[ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] ### в) Угол \( 6.5\pi \) 1. Угол \( 6.5\pi \) можно преобразовать, уменьшив его до угла, лежащего в пределах \( [0, 2\pi) \): \( 6.5\pi - 6\pi = 0.5\pi \) 2. Вычисляем косинус и синус: \[ x' = \cos\left(0.5\pi\right) = 0 \] \[ y' = \sin\left(0.5\pi\right) = 1 \] Координаты точки после поворота на угол \( 6.5\pi \): \[ (0, 1) \] ### г) Угол \( 225^\circ \) 1. Переведем угол в радианы: \( 225^\circ = \frac{225 \cdot \pi}{180} = \frac{5\pi}{4} \) 2. Вычисляем косинус и синус: \[ x' = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ y' = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Координаты точки после поворота на угол \( 225^\circ \): \[ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] ### Итоговые координаты для каждого угла: - **a)** \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) - **б)** \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) - **в)** \((0, 1)\) - **г)** \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) Так мы получили координаты точек на единичной окружности после поворота на заданные углы.