Copybook Проверочная работа по теме: «Производная» ВАРИАНТ 1 1. Найти производные: 1+2x b) y = -0,5sinx r) y = 1 - cosx a) y = x2 + x3 б) у= 3-5x 2. Вычислить значение производной…
Copybook Проверочная работа по теме: «Производная» ВАРИАНТ 1 1. Найти производные: 1+2x b) y = -0,5sinx r) y = 1 - cosx a) y = x2 + x3 б) у= 3-5x 2. Вычислить значение производной функции в точке: 2 a) у = x2 - 3x в точке х = - - б) у = 3x3 - 2x2 в точке х = 1 3. Решить уравнение у=0: a) y = 2x2 - x б)y = x4 - 3x2 + 5
Давайте разберем вашу проверочную работу по теме «Производная», решив каждую из задач шаг за шагом.
Часть 1: Найти производные
a) \( y = x^2 + x^3 \)
Чтобы найти производную, воспользуемся правилами дифференцирования:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(x^3) = 2x + 3x^2. \]
Ответ: \( y' = 2x + 3x^2 \)
b) \( y = 3 - 5x \)
Здесь производная постоянной \( 3 \) равна нулю, а для \( -5x \) она равна \( -5 \):
\[ y' = 0 - 5 = -5. \]
Ответ: \( y' = -5 \)
c) \( y = -0.5\sin x \)
Используя производную функции синуса:
\[ y' = -0.5\cos x. \]
Ответ: \( y' = -0.5\cos x \)
d) \( y = 1 - \cos x \)
Производная функции \( -\cos x \) равна \( \sin x \):
\[ y' = 0 + \sin x = \sin x. \]
Ответ: \( y' = \sin x \)
Часть 2: Вычислить значение производной функции в точке
a) \( y = x^2 - 3x \) в точке \( x = -2 \)
Сначала найдем производную:
\[ y' = 2x - 3. \]
Теперь вычислим значение производной в точке \( x = -2 \):
\[ y'(-2) = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7. \]
Ответ: \( y'(-2) = -7 \)
b) \( y = 3x^3 - 2x^2 \) в точке \( x = 1 \)
Находим производную:
\[ y' = 9x^2 - 4x. \]
Подставляем \( x = 1 \):
\[ y'(1) = 9(1^2) - 4(1) = 9 - 4 = 5. \]
Ответ: \( y'(1) = 5 \)
Часть 3: Решить уравнение \( y = 0 \)
a) \( y = 2x^2 - x \)
Сначала найдем корни уравнения:
\[ 2x^2 - x = 0. \]
Выносим \( x \) за скобки:
\[ x(2x - 1) = 0. \]
У нас есть два решения:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}. \]
Ответ: \( x = 0, \frac{1}{2} \)
b) \( y = x^4 - 3x^2 + 5 \)
Решим уравнение:
\[ x^4 - 3x^2 + 5 = 0. \]
Это уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант меньше нуля. Это видно, если мы посмотрим на его производную или проанализируем график функции. В действительности, \( x^4 \) всегда положительно, и минимальное значение функции \( x^4 - 3x^2 + 5 \) не может быть равно нулю.
Ответ: Уравнение не имеет действительных решений.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше объяснений, дайте знать!
