2cos²x=3sinx+3

Давайте решим уравнение \(2\cos^2 x = 3\sin x + 3\) и подробно объясним каждый шаг.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Начнем с преобразования уравнения \(2\cos^2 x\). Мы знаем, что \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) (по основному тригонометрическому тождеству). Подставим это в уравнение:

\[ 2(1 - \sin^2 x) = 3\sin x + 3 \]

Шаг 2: Раскроем скобки

Теперь раскроем скобки:

\[ 2 - 2\sin^2 x = 3\sin x + 3 \]

Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону

Переместим все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить уравнение в стандартной форме:

\[ -2\sin^2 x - 3\sin x + 2 - 3 = 0 \]

Упрощаем:

\[ -2\sin^2 x - 3\sin x - 1 = 0 \]

Теперь умножим на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

\[ 2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:

\[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где:

• \(a = 2\)
• \(b = 3\)
• \(c = 1\)

Подставим значения:

\[ \sin x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \]

Шаг 5: Находим дискриминант

Рассчитаем дискриминант:

\[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]

Шаг 6: Подставляем дискриминант

Теперь мы можем найти значения для \(\sin x\):

\[ \sin x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{-3 \pm 1}{4} \]

Шаг 7: Находим корни

Теперь рассчитаем оба возможных значения:

1. \(\sin x = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)
2. \(\sin x = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1\)

Шаг 8: Находим значения углов

Теперь найдём углы \(x\) для этих значений синуса.

1. Для \(\sin x = -\frac{1}{2}\):

   Углы, для которых синус равен \(-\frac{1}{2}\): \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. Для \(\sin x = -1\):

   Угол, для которого синус равен \(-1\): \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Итог

Мы нашли все значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению:

\[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Это полный процесс решения вашего уравнения! Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать.