2cos²x=3sinx+3

Давайте решим уравнение \(2\cos^2 x = 3\sin x + 3\) и подробно объясним каждый шаг. ### Шаг 1: Преобразуем уравнение Начнем с преобразования уравнения \(2\cos^2 x\). Мы знаем, что \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) (по основному тригонометрическому тождеству). Подставим это в уравнение: \[ 2(1 - \sin^2 x) = 3\sin x + 3 \] ### Шаг 2: Раскроем скобки Теперь раскроем скобки: \[ 2 - 2\sin^2 x = 3\sin x + 3 \] ### Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону Переместим все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить уравнение в стандартной форме: \[ -2\sin^2 x - 3\sin x + 2 - 3 = 0 \] Упрощаем: \[ -2\sin^2 x - 3\sin x - 1 = 0 \] Теперь умножим на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака: \[ 2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0 \] ### Шаг 4: Решим квадратное уравнение Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений: \[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где: - \(a = 2\) - \(b = 3\) - \(c = 1\) Подставим значения: \[ \sin x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \] ### Шаг 5: Находим дискриминант Рассчитаем дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \] ### Шаг 6: Подставляем дискриминант Теперь мы можем найти значения для \(\sin x\): \[ \sin x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{-3 \pm 1}{4} \] ### Шаг 7: Находим корни Теперь рассчитаем оба возможных значения: 1. \(\sin x = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\) 2. \(\sin x = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1\) ### Шаг 8: Находим значения углов Теперь найдём углы \(x\) для этих значений синуса. 1. Для \(\sin x = -\frac{1}{2}\): Углы, для которых синус равен \(-\frac{1}{2}\): \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 2. Для \(\sin x = -1\): Угол, для которого синус равен \(-1\): \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Итог Мы нашли все значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению: \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Это полный процесс решения вашего уравнения! Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать.