Давайте решим задачу шаг за шагом.
Итак, нам известно, что:
- Разность двух чисел равна 5.
- Их произведение равно 84.
Обозначим наши две неизвестные числа как ( x ) и ( y ). Тогда мы можем записать два уравнения:
- ( x - y = 5 ) (разность)
- ( xy = 84 ) (произведение)
Теперь мы можем выразить одно из чисел через другое с помощью первого уравнения. Из первого уравнения выразим ( x ):
[
x = y + 5
]
Теперь подставим это выражение для ( x ) во второе уравнение:
[
(y + 5) \cdot y = 84
]
Раскроем скобки:
[
y^2 + 5y = 84
]
Теперь перенесём 84 влево:
[
y^2 + 5y - 84 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для его решения можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
[
y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}
]
В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -84 ). Подставим эти значения в формулу:
- Вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361
]
- Теперь найдем корни:
[
y = \frac{{-5 \pm \sqrt{361}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-5 \pm 19}}{2}
]
Это дает нам два значения для ( y ):
[
y_1 = \frac{{14}}{2} = 7
]
[
y_2 = \frac{{-24}}{2} = -12
]
Теперь, подставляем ( y ) обратно в выражение для ( x ):
- Если ( y = 7 ):
[
x = 7 + 5 = 12
]
- Если ( y = -12 ):
[
x = -12 + 5 = -7
]
Таким образом, мы получили две пары чисел, которые удовлетворяют условиям задачи:
- ( x = 12 ), ( y = 7 )
- ( x = -7 ), ( y = -12 )
Итак, искомые числа это ( 12 ) и ( 7 ) (или ( -7 ) и ( -12 )).
