{x²-y²=4 2x²+y²=104

Решим систему уравнений:

1. \( x^2 - y^2 = 4 \) (уравнение (1))
2. \( 2x^2 + y^2 = 104 \) (уравнение (2))

Шаг 1: Изолируем \( y^2 \) из уравнения (1)

Из уравнения (1) мы можем выразить \( y^2 \): \[ x^2 - y^2 = 4 \implies y^2 = x^2 - 4 \]

Шаг 2: Подставим выражение для \( y^2 \) в уравнение (2)

Теперь подставим \( y^2 \) из уравнения (1) в уравнение (2): \[ 2x^2 + (x^2 - 4) = 104 \]

Упростим это уравнение: \[ 2x^2 + x^2 - 4 = 104 \] \[ 3x^2 - 4 = 104 \]

Шаг 3: Переносим -4 на правую сторону уравнения

\[ 3x^2 = 104 + 4 \] \[ 3x^2 = 108 \]

Шаг 4: Делим обе стороны на 3

\[ x^2 = \frac{108}{3} \] \[ x^2 = 36 \]

Шаг 5: Извлекаем корень

Извлечем квадратный корень из обеих сторон: \[ x = 6 \quad \text{или} \quad x = -6 \]

Шаг 6: Найдем \( y^2 \) для каждого значения \( x \)

Теперь найдем \( y^2 \) при \( x = 6 \): \[ y^2 = 6^2 - 4 = 36 - 4 = 32 \] Таким образом: \[ y = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \quad \text{или} \quad y = -\sqrt{32} = -4\sqrt{2} \]

Теперь найдем \( y^2 \) при \( x = -6 \): \[ y^2 = (-6)^2 - 4 = 36 - 4 = 32 \] И получаем те же значения для \( y \): \[ y = 4\sqrt{2} \quad \text{или} \quad y = -4\sqrt{2} \]

Шаг 7: Подводим итоги

Таким образом, мы получили четыре возможные пары \((x, y)\):

1. \( (6, 4\sqrt{2}) \)
2. \( (6, -4\sqrt{2}) \)
3. \( (-6, 4\sqrt{2}) \)
4. \( (-6, -4\sqrt{2}) \)

Это и есть решения нашей системы уравнений.