Даша, переписывая трехзначное число с доски, совершила ошибку и между первой и второй цифрой вписала лишнюю цифру N. В итоге она получила четырёхзначное число, которое больше…

Для решения задачи начнем с обозначений и условий:

1. Обозначим трехзначное число как \(x\).
2. Поскольку сказано, что число не делится на 100, это значит, что первая цифра не равна нулю, а также последняя цифра не равна нулю.
3. Даша случайно ввела цифру \(N\) между первой и второй цифрой, получив тем самым четырёхзначное число, которое обозначим как \(y\).

Формулировка уравнения

Исходя из условий задачи, получаем, что:

\[ y = 10 \cdot a + 100 \cdot N + 10 \cdot b + c = 1000 + 11x \]

где \(x\) — изначальное трехзначное число, \(a\), \(b\), \(c\) — его цифры, и \(N\) — это цифра, которую мы известны.

Подстановка известного значения

Мы знаем, что \(N = 3\). Таким образом, подставляем это в уравнение:

\[ y = 1000a + 100 \cdot 3 + 10b + c = 1000a + 300 + 10b + c \]

Упрощение уравнения

Поскольку \(y = 11x\), можем выразить \(x\) через \(a\), \(b\) и \(c\):

\[ 11x = 1000a + 300 + 10b + c \] \[ x = 100a + 10b + c \]

Установим равенство

Теперь используя оба уравнения, получаем:

\[ y = 11(100a + 10b + c) = 1100a + 110b + 11c \]

Составим окончательное уравнение

Теперь у нас есть два значения для \(y\):

1. \(y = 1000a + 300 + 10b + c\)
2. \(y = 1100a + 110b + 11c\)

Уравнение:

\[ 1000a + 300 + 10b + c = 1100a + 110b + 11c \]

Переносим к одному уравнению

Решим это уравнение:

\[ 1000a + 300 + 10b + c - 1100a - 110b - 11c = 0 \]

Упростим уравнение

\[ -100a - 100b - 10c + 300 = 0 \] \[ 100a + 100b + 10c = 300 \]

Делим на 10 для упрощения

\[ 10a + 10b + c = 30 \]

Поиск значений a, b и c

Теперь находим такие значения \(a\), \(b\) и \(c\), которые являются цифрами (от 0 до 9) и удовлетворяют уравнению:

\[ c = 30 - 10a - 10b \]

Так как \(c\) должно быть не отрицательным и не больше 9, мы можем перебрать возможности для \(a\):

• Если \(a = 1\), то \(10b + c = 20\): \(b = 0, c = 20\) (не подходит).
• Если \(a = 2\), то \(10b + c = 10\): \(b = 1, c = 0\) (приемлемо, \(x = 210\)).
• Если \(a = 3\), то \(10b + c = 0\): \(b = 0, c = 0\) (не подходит).

И так далее.

Среди годных вариантов мы нашли \(x = 210\).

Проверка результата

Теперь мы проверим, соответствует ли это число условиям:

1. Трехзначное число — да, 210.
2. Вводим 3 между 2 и 1: получим 2310.
3. Убедимся, что 2310 больше 210 в 11 раз:

\[ 11 \times 210 = 2310 \]

Это соответствует условиям задачи. Поэтому, ответ:

210