Найдите производные следующих функций: sinx-1 вычислите f(n/3); 2) y=x2+sinx; 3) y= 259. 1) f(x)= sin x При условии и-о() =xsinx. 260, 1) y=sin3x; 2) /(x)=sin(4x=1; 3) s=sin"; 4)…

Чтобы найти производные указанных функций, давайте рассмотрим каждую из них по отдельности. Я предоставлю пошаговые объяснения для каждого случая.

1) \( f(x) = \sin x \)

Шаг 1: Определим правила дифференцирования. Производная функции \(\sin x\) известна и равна:

\[ f'(x) = \cos x \]

2) \( y = x^2 + \sin x \)

Шаг 1: Применим правило суммы: производная суммы равна сумме производных.

Шаг 2: Найдем производные отдельных частей:

• Производная \(x^2\) равна \(2x\).
• Производная \(\sin x\) равна \(\cos x\).

Шаг 3: Сложим результаты: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(\sin x) = 2x + \cos x \]

3) \( y = 259 \)

Шаг 1: Обратите внимание, что \(259\) — это константа.

Шаг 2: Производная константы равна нулю:

\[ y' = 0 \]

4) \( f(x) = x \sin x \)

Шаг 1: Применим правило произведения: если \( u = x \) и \( v = \sin x \), то производная \(f(x) = u \cdot v\) находится по формуле:

\[ f' = u'v + uv' \]

Шаг 2: Найдем производные:

• \(u' = 1\)
• \(v' = \cos x\)

Шаг 3: Подставляем в формулу: \[ f'(x) = (1)(\sin x) + (x)(\cos x) = \sin x + x \cos x \]

5) \( y = \sin(3x) \)

Шаг 1: Используем правило цепочки. Если \( g(x) = 3x \), то:

\[ \frac{dy}{dx} = \cos(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3 \cos(3x) \]

6) \( f(x) = \sin(4x) - 1 \)

Шаг 1: По аналогии, используем правило цепочки на \(\sin(4x)\):

\[ \frac{dy}{dx} = \cos(4x) \cdot \frac{d}{dx}(4x) = \cos(4x) \cdot 4 = 4 \cos(4x) \]

Шаг 2: Константа \(-1\) в производной исчезает, поэтому:

\[ f'(x) = 4 \cos(4x) \]

7) \( s = \sin(x) \)

Шаг 1: Это просто \(\sin x\), для которой производная:

\[ s' = \cos x \]

8) \( f(0) = \sin(0/2) \)

Шаг 1: Найдем значение: \[ f(0) = \sin(0) = 0 \]

Необходимо применить остальное к остальным функциям.

Продолжение:

8. \( y = \sin(5e^x) \)

Шаг 1: Применим правило цепочки:

\[ \frac{dy}{dx} = \cos(5e^x) \cdot \frac{d}{dx}(5e^x) = \cos(5e^x) \cdot 5e^x \]

9) \( y = \frac{1}{\sin x} \)

Шаг 1: Применим правило производной для дроби (правило производной частного):

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} \]

10) \( y = \frac{1}{\sin(3x)} \)

Шаг 1: Применим аналогичное правило:

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3\cos(3x)}{\sin^2(3x)} \]

11) \( f(r) = \sin r \)

Шаг 1: Производная как ранее:

\[ f'(r) = \cos r \]

12) \( y = \sin^2(x) \)

Шаг 1: Применим правило цепочки:

\[ \frac{dy}{dx} = 2\sin(x) \cdot \cos(x) \]

13) \( y = \frac{1}{\sin^3 x} \)

Шаг 1: Аналогично предыдущему примеру:

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3\cos x}{\sin^4 x} \]

Это полное решение задач на нахождение производных. Если нужно пояснить какой-то конкретный момент или задать дополнительные вопросы, сообщите мне!