Чтобы найти значение параметра ( m ), при котором уравнение ( x^2 - 8mx + 16 = 0 ) имеет единственный корень, необходимо вспомнить, что уравнение квадратной формы имеет единственный корень, когда его дискриминант равен нулю.
Рассмотрим общее уравнение квадратного уравнения:
[
ax^2 + bx + c = 0
]
В нашем случае:
- ( a = 1 )
- ( b = -8m )
- ( c = 16 )
Дискриминант ( D ) уравнения рассчитывается по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставим значения ( a ), ( b ) и ( c ):
[
D = (-8m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16
]
Теперь посчитаем дискриминант:
[
D = 64m^2 - 64
]
Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю:
[
64m^2 - 64 = 0
]
Решим это уравнение. Сначала упростим его:
[
64m^2 = 64
]
Теперь разделим обе стороны на 64:
[
m^2 = 1
]
Теперь найдем корни данного уравнения, извлекая квадратный корень:
[
m = \pm 1
]
Таким образом, значения параметра ( m ), при каждом из которых уравнение ( x^2 - 8mx + 16 = 0 ) имеет единственный корень, равны:
[
m = 1 \quad \text{или} \quad m = -1
]
Итак, ответ: ( m = 1 ) и ( m = -1 ).
