Чтобы решить задачу, давайте разберем, что нам дано, и как мы можем применить тригонометрические функции.
Дано:
- Прямоугольный треугольник (ABC) с углом (C) равным (90^\circ).
- Длина стороны (AC = 15).
- Значение (sin A = 0.8).
Цель:
Найти длину стороны (AB).
Шаг 1: Понятие о синусе угла
Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащей стороны к гипотенузе. В этом случае:
[
\sin A = \frac{\text{Противолежащая сторона (BC)}}{\text{Гипотенуза (AB)}}
]
Шаг 2: Определение сторон
Здесь:
- Противолежащая сторона к углу (A) — это сторона (BC).
- Гипотенуза — это сторона (AB).
Шаг 3: Записываем формулу
Исходя из определения синуса, можем записать:
[
0.8 = \frac{BC}{AB}
]
Шаг 4: Найдем (BC)
Мы знаем, что (AC) — это прилежащая сторона к углу (A), и можем использовать теорему Пифагора. Сначала найдем сторону (BC) через (AB):
[
BC = 0.8 \cdot AB
]
Шаг 5: Применяем теорему Пифагора
В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим (AC) и выражение для (BC):
[
AB^2 = 15^2 + (0.8 \cdot AB)^2
]
Шаг 6: Решаем уравнение
Подставим значения и упростим:
[
AB^2 = 225 + 0.64 \cdot AB^2
]
Переносим все части уравнения в одну сторону:
[
AB^2 - 0.64 \cdot AB^2 = 225
]
[
0.36 \cdot AB^2 = 225
]
Шаг 7: Находим (AB^2)
Теперь разделим обе стороны на (0.36):
[
AB^2 = \frac{225}{0.36}
]
[
AB^2 = 625
]
Шаг 8: Находим (AB)
Теперь находим (AB) путем извлечения квадратного корня:
[
AB = \sqrt{625} = 25
]
Ответ
Длина стороны (AB) равна (25).
Таким образом, мы нашли длину стороны (AB) в прямоугольном треугольнике (ABC), используя тригонометрию и теорему Пифагора.
