Для решения задачи о нахождении сторон прямоугольника, зная его периметр и площадь, воспользуемся следующими обозначениями:
- Пусть длину прямоугольника обозначим как ( a ).
- Пусть ширину прямоугольника обозначим как ( b ).
Из условий задачи мы знаем:
Периметр прямоугольника:
[
P = 2(a + b) = 62
]
Разделим обе стороны на 2:
[
a + b = 31 \quad (1)
]
Площадь прямоугольника:
[
S = a \cdot b = 210 \quad (2)
]
Теперь у нас есть две уравнения. Из уравнения (1) выразим одну переменную через другую:
[
b = 31 - a \quad (3)
]
Теперь подставим выражение (3) в уравнение (2) для площади:
[
a \cdot (31 - a) = 210
]
Раскроем скобки:
[
31a - a^2 = 210
]
Теперь преобразуем уравнение так, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
[
-a^2 + 31a - 210 = 0
]
Умножим на -1, чтобы получить положительный коэффициент при ( a^2 ):
[
a^2 - 31a + 210 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискримината:
Сначала найдем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 210 = 961 - 840 = 121
]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два решения. Найдем значения ( a ):
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 \pm \sqrt{121}}{2}
]
[
= \frac{31 \pm 11}{2}
]
Теперь посчитаем оба значения:
Первое значение:
[
a_1 = \frac{31 + 11}{2} = \frac{42}{2} = 21
]
Второе значение:
[
a_2 = \frac{31 - 11}{2} = \frac{20}{2} = 10
]
Теперь у нас есть два возможных значения для длины ( a ). Подставим их в уравнение (3) для определения ширины ( b ):
Если ( a = 21 ):
[
b = 31 - 21 = 10
]
Если ( a = 10 ):
[
b = 31 - 10 = 21
]
Таким образом, стороны прямоугольника:
- ( a = 21 ) м и ( b = 10 ) м.
Итак, ответ: длина одной стороны 21 м, а другой стороны 10 м.
