Периметр прямоугольника равен 62 м Найдите его стороны если площадь прямоугольника равна 210 м²
Для решения задачи о нахождении сторон прямоугольника, зная его периметр и площадь, воспользуемся следующими обозначениями:
- Пусть длину прямоугольника обозначим как \( a \).
- Пусть ширину прямоугольника обозначим как \( b \).
Из условий задачи мы знаем:
Периметр прямоугольника:
\[ P = 2(a + b) = 62 \] Разделим обе стороны на 2: \[ a + b = 31 \quad (1) \]Площадь прямоугольника:
\[ S = a \cdot b = 210 \quad (2) \]
Теперь у нас есть две уравнения. Из уравнения (1) выразим одну переменную через другую:
\[ b = 31 - a \quad (3) \]
Теперь подставим выражение (3) в уравнение (2) для площади:
\[ a \cdot (31 - a) = 210 \]
Раскроем скобки:
\[ 31a - a^2 = 210 \]
Теперь преобразуем уравнение так, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
\[ -a^2 + 31a - 210 = 0 \]
Умножим на -1, чтобы получить положительный коэффициент при \( a^2 \):
\[ a^2 - 31a + 210 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискримината:
Сначала найдем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 210 = 961 - 840 = 121 \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два решения. Найдем значения \( a \):
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 \pm \sqrt{121}}{2} \] \[ = \frac{31 \pm 11}{2} \]
Теперь посчитаем оба значения:
Первое значение: \[ a_1 = \frac{31 + 11}{2} = \frac{42}{2} = 21 \]
Второе значение: \[ a_2 = \frac{31 - 11}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]
Теперь у нас есть два возможных значения для длины \( a \). Подставим их в уравнение (3) для определения ширины \( b \):
Если \( a = 21 \): \[ b = 31 - 21 = 10 \]
Если \( a = 10 \): \[ b = 31 - 10 = 21 \]
Таким образом, стороны прямоугольника:
- \( a = 21 \) м и \( b = 10 \) м.
Итак, ответ: длина одной стороны 21 м, а другой стороны 10 м.
