Чтобы решить задачу, давайте обозначим общее количество книг в библиотеке как ( x ).
Из условия задачи мы знаем, что:
- Книги на русском языке составляют ( \frac{3}{4}x ).
- Книги на французском языке составляют ( \frac{1}{10}x ).
- Книги на немецком языке составляют ( \frac{1}{20}x ).
- Книги на английском языке составляют 60.
Теперь мы можем записать уравнение, которое учитывает все книги:
[
\frac{3}{4}x + \frac{1}{10}x + \frac{1}{20}x + 60 = x
]
Теперь нужно привести все дроби к общему знаменателю. Самым простым способом будет найти наименьшее общее кратное знаменателей 4, 10 и 20. Наименьшее общее кратное для 4, 10 и 20 — это 20.
Теперь преобразуем каждую дробь:
- ( \frac{3}{4}x = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5}x = \frac{15}{20}x )
- ( \frac{1}{10}x = \frac{1 \cdot 2}{10 \cdot 2}x = \frac{2}{20}x )
- ( \frac{1}{20}x ) остаётся без изменений.
Теперь у нас есть:
[
\frac{15}{20}x + \frac{2}{20}x + \frac{1}{20}x + 60 = x
]
Сложим дроби с ( x ):
[
\left( \frac{15}{20} + \frac{2}{20} + \frac{1}{20} \right)x + 60 = x
]
Это можно упростить:
[
\frac{18}{20}x + 60 = x
]
Теперь перенесём ( \frac{18}{20}x ) на правую сторону уравнения:
[
60 = x - \frac{18}{20}x
]
Перепишем правую часть:
[
60 = \left(1 - \frac{18}{20}\right)x
]
Здесь ( 1 = \frac{20}{20} ), следовательно:
[
60 = \left(\frac{20}{20} - \frac{18}{20}\right)x
]
[
60 = \frac{2}{20}x
]
Теперь упрощаем:
[
60 = \frac{1}{10}x
]
Умножим обе стороны на 10:
[
600 = x
]
Таким образом, общее количество книг в библиотеке равно 600.
Ответ:
В библиотеке всего 600 книг.
