8. В урне лежат шары - 8 белых и 11 чёрных. В урну положили два каких-то шара (этих цветов). Затем из урны наугад вынули один шар. Шар оказался белым. Найдите вероятность того, что в урну положили шары одного цвета.

Для решения данной задачи нам нужно использовать формулы условной вероятности и концепцию полной вероятности. Давайте пошагово разберём задачу. ### Шаг 1: Разобрать ситуацию В начале в урне было: - 8 белых шаров - 11 черных шаров После этого в урну положили 2 шара, которые могут быть: 1. Обе белые (BB) 2. Оба черные (CC) 3. Один белый и один черный (BC) Нам нужно рассмотреть вероятность ситуации, когда мы вынули белый шар, и определить вероятность того, что в урну положили шары одного цвета. ### Шаг 2: Определить вероятности событий 1. **Обозначим события**: - \( A \): событие, что положили 2 шара одного цвета (BB или CC). - \( B \): событие, что вынули белый шар. 2. **Вероятности положить шары**: - Вероятность положить 2 белых шара (BB): \( P(A_1) = \frac{1}{3} \) (поскольку три варианта равновероятны). - Вероятность положить 2 черных шара (CC): \( P(A_2) = \frac{1}{3} \). - Вероятность положить 1 белый и 1 черный шар (BC): \( P(A_3) = \frac{1}{3} \). ### Шаг 3: Найти условные вероятности Теперь нам нужно найти условные вероятности того, что вынули белый шар, при условии разных вариантов положенных шаров. - **Событие BB (2 белых шара)**: - В урне будет 10 белых и 11 черных. Вероятность вынуть белый шар: \[ P(B | A_1) = \frac{10}{21} \] - **Событие CC (2 черных шара)**: - В урне будет 8 белых и 13 черных. Вероятность вынуть белый шар: \[ P(B | A_2) = \frac{8}{21} \] - **Событие BC (1 белый и 1 черный шар)**: - В урне будет 9 белых и 12 черных. Вероятность вынуть белый шар: \[ P(B | A_3) = \frac{9}{21} \] ### Шаг 4: Полная вероятность события B Теперь мы можем найти полную вероятность того, что мы вынули белый шар \( P(B) \): \[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) + P(B | A_3) \cdot P(A_3) \] Подставим значения: \[ P(B) = \left(\frac{10}{21} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{8}{21} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{9}{21} \cdot \frac{1}{3}\right) \] \[ = \frac{10 + 8 + 9}{63} = \frac{27}{63} = \frac{9}{21} \] ### Шаг 5: Найти условную вероятность события A при B Теперь мы можем найти вероятность того, что в урну положили шары одного цвета (событие A), при условии, что мы вынули белый шар: \[ P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)} \] Здесь, \( P(A) \) — вероятность, что положили шары одного цвета (BB + CC): \[ P(A) = P(A_1) + P(A_2) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Теперь подставляем: \[ P(A | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2)}{P(B)} = \frac{\left(\frac{10}{21} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(0 \cdot \frac{1}{3}\right)}{\frac{9}{21}} = \frac{\frac{10}{63}}{\frac{9}{21}} = \frac{10}{63} \cdot \frac{21}{9} = \frac{70}{189} \] Итак, вероятность того, что в урну положили шары одного цвета, если вынули белый шар, равна: \[ \frac{70}{189} \approx 0.37037 \] ### Заключение Таким образом, вероятность того, что в урну положили шары одного цвета, равно примерно 37%.