8. В урне лежат шары - 8 белых и 11 чёрных. В урну положили два каких-то шара (этих цветов). Затем из урны наугад вынули один шар. Шар оказался белым. Найдите вероятность того,…

Для решения данной задачи нам нужно использовать формулы условной вероятности и концепцию полной вероятности. Давайте пошагово разберём задачу.

Шаг 1: Разобрать ситуацию

В начале в урне было:

• 8 белых шаров
• 11 черных шаров

После этого в урну положили 2 шара, которые могут быть:

1. Обе белые (BB)
2. Оба черные (CC)
3. Один белый и один черный (BC)

Нам нужно рассмотреть вероятность ситуации, когда мы вынули белый шар, и определить вероятность того, что в урну положили шары одного цвета.

Шаг 2: Определить вероятности событий

1. Обозначим события:

   • \( A \): событие, что положили 2 шара одного цвета (BB или CC).
   • \( B \): событие, что вынули белый шар.

2. Вероятности положить шары:

   • Вероятность положить 2 белых шара (BB): \( P(A_1) = \frac{1}{3} \) (поскольку три варианта равновероятны).
   • Вероятность положить 2 черных шара (CC): \( P(A_2) = \frac{1}{3} \).
   • Вероятность положить 1 белый и 1 черный шар (BC): \( P(A_3) = \frac{1}{3} \).

Шаг 3: Найти условные вероятности

Теперь нам нужно найти условные вероятности того, что вынули белый шар, при условии разных вариантов положенных шаров.

• Событие BB (2 белых шара):

  • В урне будет 10 белых и 11 черных. Вероятность вынуть белый шар: \[ P(B | A_1) = \frac{10}{21} \]

• Событие CC (2 черных шара):

  • В урне будет 8 белых и 13 черных. Вероятность вынуть белый шар: \[ P(B | A_2) = \frac{8}{21} \]

• Событие BC (1 белый и 1 черный шар):

  • В урне будет 9 белых и 12 черных. Вероятность вынуть белый шар: \[ P(B | A_3) = \frac{9}{21} \]

Шаг 4: Полная вероятность события B

Теперь мы можем найти полную вероятность того, что мы вынули белый шар \( P(B) \): \[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) + P(B | A_3) \cdot P(A_3) \] Подставим значения: \[ P(B) = \left(\frac{10}{21} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{8}{21} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{9}{21} \cdot \frac{1}{3}\right) \] \[ = \frac{10 + 8 + 9}{63} = \frac{27}{63} = \frac{9}{21} \]

Шаг 5: Найти условную вероятность события A при B

Теперь мы можем найти вероятность того, что в урну положили шары одного цвета (событие A), при условии, что мы вынули белый шар: \[ P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)} \] Здесь, \( P(A) \) — вероятность, что положили шары одного цвета (BB + CC): \[ P(A) = P(A_1) + P(A_2) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Теперь подставляем: \[ P(A | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2)}{P(B)} = \frac{\left(\frac{10}{21} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(0 \cdot \frac{1}{3}\right)}{\frac{9}{21}} = \frac{\frac{10}{63}}{\frac{9}{21}} = \frac{10}{63} \cdot \frac{21}{9} = \frac{70}{189} \]

Итак, вероятность того, что в урну положили шары одного цвета, если вынули белый шар, равна: \[ \frac{70}{189} \approx 0.37037 \]

Заключение

Таким образом, вероятность того, что в урну положили шары одного цвета, равно примерно 37%.