Катушка из медной проволоки имеет сопротивление 10,8 Ом . Масса медной проволоки 3,14 кг. Какой длины и какого диаметра проволока намотана на катушку?
Для решения задачи нам необходимо использовать формулы, связанные с сопротивлением проводников, а также со свойствами меди. Мы будем использовать следующие данные:
- Сопротивление катушки \( R = 10,8 \) Ом.
- Масса медной проволоки \( m = 3,14 \) кг.
Также нам потребуется известная информация о меди:
- Удельное сопротивление меди \( \rho \approx 1,68 \times 10^{-8} \ \text{Ом} \cdot \text{м} \).
- Плотность меди \( \rho_{metal} \approx 8,96 \times 10^3 \ \text{кг/м}^3 \).
Шаг 1: Найдем объем проволоки
Из массы проволоки и плотности меди мы можем найти объем проволоки:
\[ V = \frac{m}{\rho_{metal}} = \frac{3,14 \ \text{кг}}{8,96 \times 10^3 \ \text{кг/м}^3} \approx 3,50 \times 10^{-4} \ \text{м}^3 \]
Шаг 2: Найдем длину проволоки
Сопротивление проводника рассчитывается по формуле:
\[ R = \frac{\rho \cdot L}{S} \]
где
- \( R \) — сопротивление,
- \( \rho \) — удельное сопротивление,
- \( L \) — длина проволоки,
- \( S \) — площадь поперечного сечения проволоки.
Площадь поперечного сечения проволоки принимается как:
\[ S = \frac{V}{L} \]
Поскольку находим длину \( L \), нам нужно выразить её из формулы. Объединив две формулы и подставив \( S \):
\[ R = \frac{\rho \cdot L}{\frac{V}{L}} \implies R = \frac{\rho \cdot L^2}{V} \implies L^2 = \frac{R \cdot V}{\rho} \implies L = \sqrt{\frac{R \cdot V}{\rho}} \]
Теперь подставим известные значения:
- \( R = 10,8 \) Ом,
- \( V \approx 3,50 \times 10^{-4} \ \text{м}^3 \),
- \( \rho \approx 1,68 \times 10^{-8} \ \text{Ом} \cdot \text{м} \).
Шаг 3: Расчет длины проволоки
\[ L = \sqrt{\frac{10,8 \ \text{Ом} \cdot 3,50 \times 10^{-4} \ \text{м}^3}{1,68 \times 10^{-8} \ \text{Ом} \cdot \text{м}}} \]
\[ L \approx \sqrt{\frac{3,78 \times 10^{-4}}{1,68 \times 10^{-8}}} \approx \sqrt{2,25 \times 10^{4}} \approx 150 \ \text{м} \]
Шаг 4: Определим диаметр проволоки
Теперь мы можем использовать объем проволоки, чтобы найти диаметр. Площадь поперечного сечения \( S \) также выражается через радиус:
\[ S = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \]
Где \( d \) — диаметр проволоки. Площадь также можно выразить через объем и длину:
\[ S = \frac{V}{L} \]
Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:
\[ \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = \frac{V}{L} \]
Теперь подставим значение \( L \):
\[ \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = \frac{3,50 \times 10^{-4}}{150} \]
\[ \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = 2,33 \times 10^{-6} \]
Умножаем обе стороны на \( \frac{4}{\pi} \):
\[ \left( \frac{d}{2} \right)^2 = \frac{4 \cdot 2,33 \times 10^{-6}}{\pi} \approx 2,97 \times 10^{-6} \]
Извлекаем корень:
\[ \frac{d}{2} \approx 1,73 \times 10^{-3} \implies d \approx 3,46 \times 10^{-3} \ \text{м} = 3,46 \ \text{мм} \]
Ответ:
- Длина проволоки: \( L \approx 150 \) м
- Диаметр проволоки: \( d \approx 3,46 \) мм
Таким образом, мы получили в точности необходимые параметры проволоки для катушки.
