В центр основания цилиндрического стеклянного стержня диаметром d = 7, 0 мм падает из воздуха луч мо-нохроматического света под углом, синус которого равен 0,56 (sin alpha = 0, 56) . После преломления и трехкратного отражения от зеркальной боковой внутренней поверх ности луч выходит из стержня через центр его другого основания. Абсолютный показатель преломления стекла n = 2, 0 Определите длину стержня.

Для решения данной задачи, будем использовать закон преломления света (закон Снеллиusa) и особенности отражения. Давайте последовательно разберемся с каждым шагом. ### Шаг 1: Найдем угол падения света Дано: - sin(α) = 0.56 Сначала определим угол падения α: \[ α = \arcsin(0.56) ≈ 34.2^\circ \] ### Шаг 2: Используем закон Снеллиуса Закон Снеллиуса задается следующим уравнением: \[ n_1 \cdot \sin(α) = n_2 \cdot \sin(β) \] Где: - \( n_1 \) — показатель преломления воздуха (приблизительно 1) - \( n_2 \) — показатель преломления стекла (2.0) - \( β \) — угол преломления Подставим известные значения в уравнение: \[ 1 \cdot \sin(34.2^\circ) = 2.0 \cdot \sin(β) \] Решим его для нахождения sin(β): \[ \sin(β) = \frac{sin(34.2^\circ)}{2} ≈ \frac{0.56}{2} = 0.28 \] Теперь определим угол β: \[ β ≈ \arcsin(0.28) ≈ 16.3^\circ \] ### Шаг 3: Рассчитаем путь света внутри цилиндра Свет проходит через стеклянный стержень, отражаясь трижды от внутренней поверхности боковой стенки. Для нахождения длины стержня, полной длины светового пути от входа до выхода через центр другого основания, нужно воспользоваться геометрией. Цилиндр имеет диаметр \( d = 7.0 \) мм, следовательно, радиус: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{7.0 \, \text{мм}}{2} = 3.5 \, \text{мм} = 0.0035 \, \text{м} \] Длина стержня можно найти, учитывая, что после преломления луч света образует треугольник с высотой, равной длине стержня \( L \), и основанием, равным длине горизонтального отрезка, который будет между отражениями. При каждой поверхности отражения угол α сохраняется. Полная длина в стержне будет представлять из себя 3 составляющие: по вертикали вниз и по горизонтали на основании. ### Шаг 4: Длина светового пути Для каждой отражения мы будем использовать осевую компоненту. Поскольку луч будет трижды отражаться, тем не менее по осевой линии вертикаль будет считаться. Выясним высоту: 1. Вертикальная составляющая: \[ h = L \cdot \sin(β) \] 2. Пройдя трижды, учитываем количество отражений — 3 раза: На каждом отражении общее количество высот будет: \[ H = 3 \cdot h = 3 \cdot L \cdot \sin(β) \] Когда свет возвращается, угол между выходом и входом одинаков. Поскольку мы знаем, что \( \sin(β) \) уже нашли, подставляем: \[ H = 3 \cdot L \cdot 0.28 \] 3. Относительно длины стержня, используя треугольник идет вертикально вниз: Поскольку мы имеем основание и углы, длина стержня равна: \[ L = \frac{H}{3 \cdot \sin(β)} \] Теперь соотношением всех мест мы можем получить окончательную длину: ### Шаг 5: Вычисление длины стержня Вытянуть длину стержня в высоту: \[ L = \frac{3 \cdot 0.0035}{3 \cdot \sin(16.3^\circ)} \Rightarrow \text{где H = r} \] \[ L = \frac{0.0035}{\sin(16.3^\circ)} \] Подсчитываем данное значение \( 0.0035/0.28\): \[ L ≈ 0.0125 м или 12.5 мм \] ### Ответ Таким образом, длина стеклянного стержня равна примерно 12.5 мм.