x2-7x+12≥0
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 7x + 12 \geq 0 \), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найдем корни соответствующего квадратного уравнения
Сначала преобразуем неравенство в равенство:
\[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]
Для решения используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = 12 \).
Подставим значения:
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]
Поскольку дискриминант положительный, у уравнения два различных корня. Находим корни с помощью формулы:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим в формулу:
\[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2} \]
Теперь решим для каждого корня:
\[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{6}{2} = 3 \]
Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = 3 \).
Шаг 2: Определим промежутки
Теперь, чтобы решить неравенство \( x^2 - 7x + 12 \geq 0 \), рассмотрим промежутки, которые образуются корнями:
- \( (-\infty, 3) \)
- \( [3, 4] \)
- \( (4, +\infty) \)
Шаг 3: Проверка знака функции на интервалах
Теперь нам нужно проверить знак функции \( f(x) = x^2 - 7x + 12 \) на каждом из этих промежутков. Мы можем выбрать тестовые значения в каждом интервале.
Для интервала \( (-\infty, 3) \) возьмем \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 - 7 \cdot 0 + 12 = 12 \quad (\text{положительно}) \]
Для интервала \( (3, 4) \) возьмем \( x = 3.5 \): \[ f(3.5) = (3.5)^2 - 7 \cdot 3.5 + 12 = 12.25 - 24.5 + 12 = -0.25 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для интервала \( (4, +\infty) \) возьмем \( x = 5 \): \[ f(5) = 5^2 - 7 \cdot 5 + 12 = 25 - 35 + 12 = 2 \quad (\text{положительно}) \]
Шаг 4: Записываем решение неравенства
Теперь подытожим:
- \( f(x) \geq 0 \) на интервалах \( (-\infty, 3] \) и \( [4, +\infty) \).
- Так как мы решаем неравенство \( \geq 0 \), включаем корни.
Таким образом, окончательное решение неравенства:
\[ (-\infty, 3] \cup [4, +\infty) \]
Это значит, что неравенство выполняется для всех \( x \) в этих промежутках.
