3. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ…
3. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0.81. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0.05. Известно, что 4% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным
Для решения этой задачи используем теорему Байеса и формулу полной вероятности.
Обозначим события:
- \( A \): пациент действительно болен гепатитом.
- \( B \): анализ показывает положительный результат.
У нас есть следующая информация:
- \( P(A) = 0.04 \) (вероятность того, что пациент болен гепатитом).
- \( P(B | A) = 0.81 \) (вероятность положительного результата анализа при наличии гепатита).
- \( P(B | \neg A) = 0.05 \) (вероятность ложноположительного результата анализа, когда пациент не болен).
Требуется найти \( P(B) \) — общую вероятность положительного результата анализа:
По формуле полной вероятности:
\[ P(B) = P(B | A) \cdot P(A) + P(B | \neg A) \cdot P(\neg A) \]
Сначала найдем \( P(\neg A) \):
\[ P(\neg A) = 1 - P(A) = 1 - 0.04 = 0.96 \]
Теперь подставим известные значения в формулу:
\[ P(B) = P(B | A) \cdot P(A) + P(B | \neg A) \cdot P(\neg A \]
\[ P(B) = (0.81 \cdot 0.04) + (0.05 \cdot 0.96) \]
\[ P(B) = (0.0324) + (0.048) \]
\[ P(B) = 0.0804 \]
Таким образом, вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным, составляет 0.0804 или 8.04%.
