В семье 5 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,7. Найти вероятность того, что среди этих детей больше трех мальчиков Решение коротко

Для решения задачи используем биномиальное распределение. В системе вероятностей, когда мы говорим о рождении мальчиков и девочек, мы можем рассматривать это как серию независимых испытаний.

Дано:

• Общее число детей (n): 5
• Вероятность рождения мальчика (p): 0,7
• Вероятность рождения девочки (q): 1 - p = 0,3

Мы хотим найти вероятность того, что среди 5 детей больше трех мальчиков. Это означает, что мы ищем:

• Вероятность 4 мальчиков
• Вероятность 5 мальчиков

Шаг 1: Используем формулу биномиального распределения

Формула вероятности для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — число сочетаний (комбинаций) из n по k: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( p^k \) — вероятность успеха в k испытаниях
• \( q^{n-k} \) — вероятность неуспеха в оставшихся испытаниях

Шаг 2: Находим вероятности

1. Для 4 мальчиков (k=4): \[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0.7)^4 \cdot (0.3)^1 \]

   • \( C(5, 4) = 5 \)
   • \( (0.7)^4 = 0.2401 \)
   • \( (0.3)^1 = 0.3 \)

   Подставим: \[ P(X = 4) = 5 \cdot 0.2401 \cdot 0.3 = 5 \cdot 0.07203 = 0.36015 \]

2. Для 5 мальчиков (k=5): \[ P(X = 5) = C(5, 5) \cdot (0.7)^5 \cdot (0.3)^0 \]

   • \( C(5, 5) = 1 \)
   • \( (0.7)^5 = 0.16807 \)
   • \( (0.3)^0 = 1 \)

   Подставим: \[ P(X = 5) = 1 \cdot 0.16807 \cdot 1 = 0.16807 \]

Шаг 3: Общая вероятность

Теперь, чтобы найти вероятность более трех мальчиков, сложим вероятности для 4 и 5 мальчиков: \[ P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822 \]

Ответ

Вероятность того, что среди 5 детей больше трех мальчиков, составляет approximately 0.52822 или 52.82%.