В семье 5 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,7. Найти вероятность того, что среди этих детей больше трех мальчиков Решение коротко

Для решения задачи используем биномиальное распределение. В системе вероятностей, когда мы говорим о рождении мальчиков и девочек, мы можем рассматривать это как серию независимых испытаний. Дано: - **Общее число детей (n)**: 5 - **Вероятность рождения мальчика (p)**: 0,7 - **Вероятность рождения девочки (q)**: 1 - p = 0,3 Мы хотим найти вероятность того, что среди 5 детей больше трех мальчиков. Это означает, что мы ищем: - Вероятность 4 мальчиков - Вероятность 5 мальчиков ### Шаг 1: Используем формулу биномиального распределения Формула вероятности для биномиального распределения: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где: - \( C(n, k) \) — число сочетаний (комбинаций) из n по k: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) - \( p^k \) — вероятность успеха в k испытаниях - \( q^{n-k} \) — вероятность неуспеха в оставшихся испытаниях ### Шаг 2: Находим вероятности 1. **Для 4 мальчиков (k=4)**: \[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0.7)^4 \cdot (0.3)^1 \] - \( C(5, 4) = 5 \) - \( (0.7)^4 = 0.2401 \) - \( (0.3)^1 = 0.3 \) Подставим: \[ P(X = 4) = 5 \cdot 0.2401 \cdot 0.3 = 5 \cdot 0.07203 = 0.36015 \] 2. **Для 5 мальчиков (k=5)**: \[ P(X = 5) = C(5, 5) \cdot (0.7)^5 \cdot (0.3)^0 \] - \( C(5, 5) = 1 \) - \( (0.7)^5 = 0.16807 \) - \( (0.3)^0 = 1 \) Подставим: \[ P(X = 5) = 1 \cdot 0.16807 \cdot 1 = 0.16807 \] ### Шаг 3: Общая вероятность Теперь, чтобы найти вероятность более трех мальчиков, сложим вероятности для 4 и 5 мальчиков: \[ P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822 \] ### Ответ Вероятность того, что среди 5 детей больше трех мальчиков, составляет approximately **0.52822** или **52.82%**.