x²-6x+5<0

Решим неравенство \(x^2 - 6x + 5 < 0\) шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем корни уравнения

Для начала, мы можем найти корни соответствующего квадратного уравнения \(x^2 - 6x + 5 = 0\) с помощью формулы дискриминанта.

• Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = -6\), и \(c = 5\).

• Подставляем значения: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \]

Шаг 2: Найдем корни

Теперь, когда мы нашли дискриминант, можем найти корни уравнения:

\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5, \] \[ x_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1. \]

Итак, корни нашего уравнения: \(x_1 = 5\) и \(x_2 = 1\).

Шаг 3: Определим промежутки

Теперь мы знаем, что функция \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) пересекает ось x в точках 1 и 5. Это разбивает числовую ось на три промежутка:

1. \(x < 1\)
2. \(1 < x < 5\)
3. \(x > 5\)

Шаг 4: Определим знак функции на каждом промежутке

Теперь необходимо определить знак функции на каждом из этих промежутков. Для этого выберем по одной точке из каждого промежутка и подставим в функцию:

• Промежуток \(x < 1\) (например, \(x = 0\)): \[ f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5 > 0 \]

• Промежуток \(1 < x < 5\) (например, \(x = 3\)): \[ f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 < 0 \]

• Промежуток \(x > 5\) (например, \(x = 6\)): \[ f(6) = 6^2 - 6 \cdot 6 + 5 = 36 - 36 + 5 = 5 > 0 \]

Шаг 5: Составляем ответ

Таким образом, функция \(f(x)\) отрицательна (меньше нуля) на промежутке \(1 < x < 5\).

Ответ:

Решение неравенства \(x^2 - 6x + 5 < 0\): \[ (1, 5) \]

Это означает, что для значений \(x\) из интервала \((1, 5)\) неравенство выполняется.