X²-6x+5<0

Решим неравенство \(x^2 - 6x + 5 < 0\) шаг за шагом. ### Шаг 1: Найдем корни уравнения Для начала, мы можем найти корни соответствующего квадратного уравнения \(x^2 - 6x + 5 = 0\) с помощью формулы дискриминанта. - Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = -6\), и \(c = 5\). - Подставляем значения: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \] ### Шаг 2: Найдем корни Теперь, когда мы нашли дискриминант, можем найти корни уравнения: \[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5, \] \[ x_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1. \] Итак, корни нашего уравнения: \(x_1 = 5\) и \(x_2 = 1\). ### Шаг 3: Определим промежутки Теперь мы знаем, что функция \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) пересекает ось x в точках 1 и 5. Это разбивает числовую ось на три промежутка: 1. \(x < 1\) 2. \(1 < x < 5\) 3. \(x > 5\) ### Шаг 4: Определим знак функции на каждом промежутке Теперь необходимо определить знак функции на каждом из этих промежутков. Для этого выберем по одной точке из каждого промежутка и подставим в функцию: - **Промежуток \(x < 1\) (например, \(x = 0\)):** \[ f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5 > 0 \] - **Промежуток \(1 < x < 5\) (например, \(x = 3\)):** \[ f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 < 0 \] - **Промежуток \(x > 5\) (например, \(x = 6\)):** \[ f(6) = 6^2 - 6 \cdot 6 + 5 = 36 - 36 + 5 = 5 > 0 \] ### Шаг 5: Составляем ответ Таким образом, функция \(f(x)\) отрицательна (меньше нуля) на промежутке \(1 < x < 5\). ### Ответ: Решение неравенства \(x^2 - 6x + 5 < 0\): \[ (1, 5) \] Это означает, что для значений \(x\) из интервала \((1, 5)\) неравенство выполняется.