Y=-x^3+27x+8

Конечно, давай разберем задачу подробнее. Функция, которую нужно исследовать: \( y = -x^3 + 27x + 8 \). ### Шаг 1: Найти производную Найдем первую производную функции, чтобы исследовать критические точки и поведение функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 27x + 8) = -3x^2 + 27. \] ### Шаг 2: Найти критические точки Критические точки находятся при равенстве производной нулю: \[ -3x^2 + 27 = 0. \] Решим это уравнение: \[ -3x^2 + 27 = 0 \] \[ 3x^2 = 27 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm 3. \] Таким образом, критические точки: \( x = 3 \) и \( x = -3 \). ### Шаг 3: Исследовать интервалы на возрастание и убывание Для этого подставим значения из интервалов в производную: - На интервале \( (-\infty, -3) \): выберем точку \( x = -4 \), подстановка в производную даст \( -3(-4)^2 + 27 = -48 + 27 = -21 \) (отрицательная производная, функция убывает). - На интервале \( (-3, 3) \): выберем точку \( x = 0 \), подстановка в производную даст \( -3(0)^2 + 27 = 27 \) (положительная производная, функция возрастает). - На интервале \( (3, \infty) \): выберем точку \( x = 4 \), подстановка в производную даст \( -3(4)^2 + 27 = -48 + 27 = -21 \) (отрицательная производная, функция убывает). ### Шаг 4: Найти точки пересечения с осями 1. **Пересечение с осью \( y \)**: Подставляем \( x = 0 \) в исходное уравнение: \[ y = -(0)^3 + 27 \times 0 + 8 = 8. \] Таким образом, точка пересечения с осью \( y \): \( (0, 8) \). 2. **Пересечение с осью \( x \)**: Нужно решить уравнение \( -x^3 + 27x + 8 = 0 \). Это кубическое уравнение и может быть решено численно или аналитически (например, методом рациональных корней). Для задачи достаточно знать, что метод анализа и графическое построение дадут нужные точки. ### Шаг 5: Построение графика На основании проведённого анализа: - Функция убывает на \( (-\infty, -3) \) и \( (3, \infty) \). - Функция возрастает на \( (-3, 3) \). - Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 3 \). - Точка пересечения с осью \( y \): \( (0, 8) \). Теперь можно построить схематичный график, учитывая поведение функции и найденные точки. Эти шаги помогут дать общее представление о функции и её графике.