докажите что в треугольнике медиана не меньше высоты проведённой из той же вершины

Возьмем треугольник ABC, где AM - медиана, hA - высота, проведенная из вершины A. Предположим, что AM < hA.

Так как медиана делит сторону на две равные части, то MB = MC и AM = 2MD, где D - точка пересечения медианы и стороны BC.

Пусть H - точка пересечения высоты и стороны BC. Тогда AH = hA и BH = HC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB. По теореме Пифагора получаем: AB^2 = AH^2 + BH^2.

Так как AM < hA, то MD < HD. Следовательно, DM^2 < DH^2.

Так как AM = 2MD, то AM^2 = 4DM^2. Аналогично, AH^2 = 4DH^2.

Таким образом, AB^2 = AM^2 + MB^2 < AM^2 + MC^2 = 4DM^2 + MC^2.

С другой стороны, AB^2 = AH^2 + BH^2 = 4DH^2 + HC^2.

Так как DM^2 < DH^2 и MC^2 = HC^2, получаем, что 4DM^2 + MC^2 < 4DH^2 + HC^2.

Следовательно, AB^2 < AB^2, что противоречит исходному предположению.

Таким образом, предположение AM < hA неверно, и медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.