хорда основи конуса дорівнює 6 см і стягує дугу 90° . через цю хорду і вершину конуса проведено переріз. знайдіть його площу , якщо висота конуса дорівнює 4 см

Для решения задачи начнем с понимания, что такое хорда и как ее использование связано с конусом.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть конус с высотой 4 см. Хорда, которая лежит в основании конуса, равна 6 см и стягивает дугу 90°. Это означает, что, если мы проведем линию от концов хорды до центра основания конуса, это создаст сектор круга с углом 90°.

Шаг 2: Поиск радиуса основания конуса

Чтобы найти радиус основания конуса, воспользуемся тем, что хорда стягивает дугу. Формула длины хорды \( C \) в круге определяется как: \[ C = 2 \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \] где:

• \( C \) — длина хорды (6 см),
• \( R \) — радиус круга,
• \( \theta \) — угол, соответствующий дуге в радианах.

Угол в 90° равен \( \frac{\pi}{2} \) радианов. Таким образом, подставим значения в формулу:

\[ 6 = 2 \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Так как \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), у нас получается:

\[ 6 = 2 \cdot R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упрощаем:

\[ 6 = R \cdot \sqrt{2} \]

Теперь находим радиус \( R \):

\[ R = \frac{6}{\sqrt{2}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} \]

Шаг 3: Нахождение площади сечения

Теперь у нас есть радиус основания конуса \( R = 3\sqrt{2} \) см и высота \( h = 4 \) см. Сечение конуса, проведенное через хорду и вертикаль, будет треугольником с основанием, равным хорде, и высотой, равной высоте конуса.

Площадь треугольника \( S \) можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где \( a = 6 \) см (длина хорды) и \( h = 4 \) см.

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \text{ см}^2 \]

Ответ

Площадь перереза конуса через хорду, равную 6 см, и высоту 4 см составляет 12 см².