Для решения задачи начнем с понимания, что такое хорда и как ее использование связано с конусом.
Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть конус с высотой 4 см. Хорда, которая лежит в основании конуса, равна 6 см и стягивает дугу 90°. Это означает, что, если мы проведем линию от концов хорды до центра основания конуса, это создаст сектор круга с углом 90°.
Шаг 2: Поиск радиуса основания конуса
Чтобы найти радиус основания конуса, воспользуемся тем, что хорда стягивает дугу. Формула длины хорды ( C ) в круге определяется как:
[
C = 2 \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
]
где:
- ( C ) — длина хорды (6 см),
- ( R ) — радиус круга,
- ( \theta ) — угол, соответствующий дуге в радианах.
Угол в 90° равен ( \frac{\pi}{2} ) радианов. Таким образом, подставим значения в формулу:
[
6 = 2 \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
]
Так как ( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} ), у нас получается:
[
6 = 2 \cdot R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Упрощаем:
[
6 = R \cdot \sqrt{2}
]
Теперь находим радиус ( R ):
[
R = \frac{6}{\sqrt{2}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}
]
Шаг 3: Нахождение площади сечения
Теперь у нас есть радиус основания конуса ( R = 3\sqrt{2} ) см и высота ( h = 4 ) см. Сечение конуса, проведенное через хорду и вертикаль, будет треугольником с основанием, равным хорде, и высотой, равной высоте конуса.
Площадь треугольника ( S ) можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
]
где ( a = 6 ) см (длина хорды) и ( h = 4 ) см.
Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \text{ см}^2
]
Ответ
Площадь перереза конуса через хорду, равную 6 см, и высоту 4 см составляет 12 см².
