Дан равносторонний треугольник со стороной 1. → A B × → B C = → A B × → A C

Чтобы понять, как выполнить задачу с использованием векторной алгебры, давай разберем, что именно нам нужно сделать.

Дано:

Равносторонний треугольник \( ABC \) со стороной \( AB = BC = CA = 1 \).

Необходимое:

Нужно показать, что векторные произведения \( \vec{B}C \) и \( \vec{A}B \) равны по величине, а также выяснить, что векторное произведение \( \vec{B}C \) равно векторному произведению \( \vec{A}B \) и \( \vec{A}C \).

Шаг 1: Определение векторов

Предположим, что точки расположены на координатной плоскости следующим образом:

• \( A(0, 0) \)
• \( B(1, 0) \)
• \( C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)

Это расположение точек соответствует равностороннему треугольнику, где \( C \) находится над серединой отрезка \( AB \).

Шаг 2: Находим векторы

Теперь вычислим векторы \( \vec{BC} \) и \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \):

• \( \vec{AB} = B - A = (1 - 0, 0 - 0) = (1, 0) \)
• \( \vec{AC} = C - A = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
• \( \vec{BC} = C - B = \left(\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)

Шаг 3: Вычисляем векторные произведения

Теперь нам нужно вычислить векторные произведения \( \vec{BC} \times \vec{AB} \) и \( \vec{AB} \times \vec{AC} \).

В двумерной системе координат векторное произведение векторов \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) можно найти по формуле: \[ \vec{u} \times \vec{v} = x_1y_2 - y_1x_2 \]

1. Для \( \vec{BC} \times \vec{AB} \): \[ \vec{BC} \times \vec{AB} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times (1, 0) = -\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

2. Для \( \vec{AB} \times \vec{AC} \): \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = (1, 0) \times \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Шаг 4: Сравнение произведений

Мы видим, что:

• \( \vec{BC} \times \vec{AB} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \vec{AB} \times \vec{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Эти два значения различны только по знаку, что указывает на то, что они равны по величине, но направлены в opposite направления.

Заключение

Мы доказали, что величины векторных произведений \( \vec{BC} \times \vec{AB} \) и \( \vec{AB} \times \vec{AC} \) равны, хотя они направлены в разные стороны. Использование векторной алгебры позволяет проиллюстрировать свойство векторов в равностороннем треугольнике.