.

Давайте приведём обе пары дробей к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

a) Дроби: \(\frac{7x}{12y}\) и \(\frac{5y}{8x}\)

1. Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ):

   Для знаменателей \(12y\) и \(8x\) нам нужно найти общий множитель, который будет делиться на оба этих числа и переменные.

   • Разложим на множители:

     • \(12y = 2^2 \times 3 \times y\)
     • \(8x = 2^3 \times x\)

   • НОЗ выбирается, основываясь на максимальной степени каждого множителя из разложений:

     • Для \(2\) — берём \(2^3\) (максимальная степень — из \(8x\))
     • Для \(3\) — берём \(3^1\)
     • Для \(x\) — берём \(x^1\)
     • Для \(y\) — берём \(y^1\)

   • Таким образом, НОЗ будет \(2^3 \times 3 \times x \times y = 24xy\).

2. Приводим дроби к общему знаменателю \(24xy\):

   • Для \(\frac{7x}{12y}\):

     Чтобы знаменатель \(12y\) преобразовать в \(24xy\), надо домножить дробь на \(\frac{2x}{2x}\):

     \[ \frac{7x}{12y} \times \frac{2x}{2x} = \frac{14x^2}{24xy} \]

   • Для \(\frac{5y}{8x}\):

     Чтобы знаменатель \(8x\) преобразовать в \(24xy\), надо домножить дробь на \(\frac{3y}{3y}\):

     \[ \frac{5y}{8x} \times \frac{3y}{3y} = \frac{15y^2}{24xy} \]

Таким образом, дроби \(\frac{7x}{12y}\) и \(\frac{5y}{8x}\) приведены к общему знаменателю \(24xy\): \(\frac{14x^2}{24xy}\) и \(\frac{15y^2}{24xy}\).

b) Дроби: \(\frac{m}{m+n}\) и \(\frac{n}{m-n}\)

1. Находим общий знаменатель:

   Знаменатели \(m+n\) и \(m-n\) не имеют общих множителей, так как \(m\) и \(n\) — разные выражения.

   • Общий знаменатель будет просто произведением этих двух: \((m+n)(m-n)\).

2. Приводим дроби к общему знаменателю \((m+n)(m-n)\):

   • Для \(\frac{m}{m+n}\):

     Чтобы преобразовать в \((m+n)(m-n)\), домножаем на \(\frac{m-n}{m-n}\):

     \[ \frac{m}{m+n} \times \frac{m-n}{m-n} = \frac{m(m-n)}{(m+n)(m-n)} \]

   • Для \(\frac{n}{m-n}\):

     Чтобы привести к \((m+n)(m-n)\), домножаем на \(\frac{m+n}{m+n}\):

     \[ \frac{n}{m-n} \times \frac{m+n}{m+n} = \frac{n(m+n)}{(m+n)(m-n)} \]

Таким образом, дроби \(\frac{m}{m+n}\) и \(\frac{n}{m-n}\) приведены к общему знаменателю \((m+n)(m-n)\): \(\frac{m(m-n)}{(m+n)(m-n)}\) и \(\frac{n(m+n)}{(m+n)(m-n)}\).

Если есть другие вопросы или нужна помощь с другой задачей, дайте знать!