Ответ

Давайте решим задачи, представленные на странице. Мы начнем с задач под номером 5.72, 5.73 и 5.74.

Задача 5.72

Необходимо разложить на множители:

1. \( a^4 - 1 \)

   • Это разность квадратов: \( a^4 - 1^2 = (a^2 - 1)(a^2 + 1) \)
   • Затем \( a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) \)
   • Полное разложение: \( (a - 1)(a + 1)(a^2 + 1) \)

2. \( x^3 - y^3 \)

   • Это разность кубов: \( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \)

3. \( x^3 + y^3 \)

   • Это сумма кубов: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \)

4. \( 3a^2 + 12a \)

   • Вынесем общий множитель 3a: \( 3a(a + 4) \)

5. \( n^3 - 27 \)

   • Представляем как разность кубов: \( n^3 - 3^3 = (n - 3)(n^2 + 3n + 9) \)

Задача 5.73

Разложим выражения:

1. \( 27 - 8a^3 \)

   • Разность кубов: \( 27 - (2a)^3 = (3 - 2a)(9 + 6a + 4a^2) \)

2. \( 8x^3 + y^3 \)

   • Сумма кубов: \( (2x)^3 + y^3 = (2x + y)((2x)^2 - 2xy + y^2) = (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2) \)

3. \( 1 - \frac{8}{a^3} \)

   • Разность кубов: \( 1 - \left(\frac{2}{a}\right)^3 = \left(1 - \frac{2}{a}\right)\left(1 + \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2}\right) \)

4. \( b^4 - m \)

   • Мы можем вынести общий множитель \( b - \sqrt[4]{m} \) (если известно значение m).

5. \( 1 + 64y^3 \)

   • Сумма кубов: \( 1 + (4y)^3 = (1 + 4y)(1 - 4y + 16y^2) \)

Задача 5.74

Продолжаем разложение:

1. \( n^3 - 27 \)

   • Сделано ранее: \( (n - 3)(n^2 + 3n + 9) \)

2. \( 64 - y^3 \)

   • Разность кубов: \( 64 - y^3 = (4 - y)(16 + 4y + y^2) \)

3. \( \frac{b^3}{8} - 1 \)

   • Разность кубов: \( \left(\frac{b}{2}\right)^3 - 1 = \left(\frac{b}{2} - 1\right)\left(\frac{b^2}{4} + \frac{b}{2} + 1\right) \)

4. \( m^6 + n^6 \)

   • Можно представить как сумму квадратов: \( (m^3)^2 + (n^3)^2 = (m^3 + n^3)(m^3 - n^3) \)

5. \( m^6 + n^6 \)

   • Аналогично предыдущему: \( (m^2)^3 + (n^2)^3 = (m^2 + n^2)((m^2)^2 - m^2n^2 + (n^2)^2) \)

Я попытался представить максимально развернутое объяснение каждого шага решения. Если есть дополнительные вопросы, дайте знать!