Обособленные обстоятельства выделяются в предложении паузами и интонацией и, как правило, отвечают на вопрос "как?". Они могут выражаться деепричастными оборотами или другими конструкциями.
Рассмотрим каждое предложение:
Не смотря на праздничный день в саду было пустынно.
- Обособленное обстоятельство: "Не смотря на праздничный день". Это обстоятельство, выраженное оборотом с предлогом, указывает на условие.
Опять невзирая на ночной час освещены окошки, в доме не спят.
- Обособленное обстоятельство: "невзирая на ночной час". Оборот с предлогом показывает противоречие.
Петухи несмотря на дождь кричали своими голосами.
- Обособленное обстоятельство: "несмотря на дождь". Здесь это обстоятельство указывает на условия, при которых выполняется действие.
Наша футбольная команда при условии выигрыш тренировки может перейти в первую лигу.
- Обособленное обстоятельство: "при условии выигрыша". Оно указывает на условие, необходимое для выполнения действия.
Вопреки предсказаниям моего спутника погода прояснилась и обещала нам тихое утро.
- Обособленное обстоятельство: "Вопреки предсказаниям моего спутника". Это обстоятельство обозначает противоречие ожиданиям.
Таким образом, обособленные обстоятельства следует выделять запятыми в письменной речи и интонационно в устной.