9класс Контрольная работа №3 Вариант 2. Тема «Решение треугольников» 1. В треугольнике АВС: BC= корень из 3, угол B=45°, угол A=60°. Найдите: AС, АВ, 4 С. 2. В треугольнике АВС:…

Давайте разберем каждую из задач пошагово, чтобы понять, как их решать.

Задача 1:

В треугольнике ABC: BC = √3, угол B = 45°, угол A = 60°. Найдите: AC, AB, угол C.

1. Найдём угол C. Сумма всех углов треугольника равна 180°: \[ C = 180° - A - B = 180° - 60° - 45° = 75° \]

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон. Теорема синусов гласит: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Здесь:

   • \( a = BC \)
   • \( b = AC \)
   • \( c = AB \)

   Подставим известные значения: \[ \frac{\sqrt{3}}{\sin 60°} = \frac{AC}{\sin 45°} = \frac{AB}{\sin 75°} \]

   Зная, что \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\), и \(\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), подставляем назад:

   Для нахождения AC: \[ AC = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2} \]

   Для нахождения AB: \[ AB = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 75°}{\sin 60°} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \]

Задача 2:

В треугольнике ABC: AC = 6, BC = 5, угол C = 60°. Найдите: AB, угол A, угол B.

1. Используем теорему косинусов для нахождения AB. \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C \] Подставляем известные значения: \[ AB^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos 60° \] \(\cos 60° = \frac{1}{2}\): \[ AB^2 = 36 + 25 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 36 + 25 - 30 = 31 \] Теперь находим AB: \[ AB = \sqrt{31} \]

2. Используем теорему синусов для нахождения углов A и B. \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}, \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \]

   Найдем угол B: \[ \frac{\sqrt{31}}{\sin 60°} = \frac{6}{\sin B} \implies \sin B = \frac{6 \cdot \sin 60°}{\sqrt{31}} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{31}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{31}} \] После нахождения угла B можно вычислить угол A как: \[ A + B = 120° \implies A = 120° - B \]

Задача 3:

Найдите \(\cos A\), \(\cos B\), \(\cos C\) в треугольнике ABC, если A(3;9), B(0;6), C(4;2).

1. Находим длины сторон треугольника. \[ AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (9 - 6)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} \] \[ BC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2} \] \[ CA = \sqrt{(4 - 3)^2 + (2 - 9)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

2. Используем теорему косинов для нахождения косинусов. \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] где \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\).

   Подставляем значения для \(\cos A\): \[ \cos A = \frac{(4\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{2})^2}{2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{32 + 50 - 18}{40} = \frac{64}{40} = \frac{8}{5} \]

   Аналогично рассчитываем \(\cos B\) и \(\cos C\).

Задача 4:

Найдите скалярное произведение векторов a и b, если |a|=8, |b|=5, угол между ними равен 115°.

1. Формула скалярного произведения. \[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos \theta \] Подставим известные значения: \[ a \cdot b = 8 \cdot 5 \cdot \cos(115°) \] Зная, что \(\cos(115°) = -\cos(65°)\), можно использовать значение \(\cos(65°) \approx 0.4226\): \[ a \cdot b = 8 \cdot 5 \cdot (-0.4226) = -16.904 \]

Это полные решения задач с пошаговыми объяснениями. Если возникнут вопросы или потребуется больше примеров, не стесняйтесь задавать!