у=4х^2-х^4-3

Чтобы понять, как работать с данной задачей, давайте подробно разберем функцию \( y = 4x^2 - x^4 - 3 \).

Шаг 1: Анализ функции

Мы видим, что это многочлен. Сначала давайте упростим представление и структуру этой функции.

Функция представлена в виде: \[ y = -x^4 + 4x^2 - 3 \]

Шаг 2: Определение типа функции

Это четвертостепенная функция (потому что максимальная степень \(x\) равна 4). Она будет иметь определённую симметрию и, возможно, несколько максимумов и минимумов.

Шаг 3: Нахождение критических точек

Для поиска экстремумов (максимумов и минимумов) нужно взять производную функции и приравнять её к нулю.

3.1. Находим производную:

Формула для нахождения производной выглядит так: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 4x^2 - 3) \]

Сделаем поочередное дифференцирование каждого члена:

• Производная \( -x^4 \) равна \( -4x^3 \),
• Производная \( 4x^2 \) равна \( 8x \),
• Производная \( -3 \) равна \( 0 \).

Таким образом, получаем: \[ y' = -4x^3 + 8x \]

3.2. Приравниваем производную к нулю:

Найдем критические точки: \[ -4x^3 + 8x = 0 \]

Факторизуем уравнение: \[ -4x(x^2 - 2) = 0 \]

Это дает нам два уравнения:

1. \( -4x = 0 \) → \( x = 0 \)
2. \( x^2 - 2 = 0 \) → \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \)

Шаг 4: Исследование критических точек

Теперь у нас есть три критические точки: \( x = 0 \), \( x = \sqrt{2} \), \( x = -\sqrt{2} \).

Чтобы определить, являются ли они максимумами или минимумами, посчитаем вторую производную:

4.1. Нахождение второй производной:

\[ y'' = \frac{d}{dx}(-4x^3 + 8x) = -12x^2 + 8 \]

4.2. Подстановка критических точек:

1. Для \( x = 0 \): \[ y''(0) = -12(0)^2 + 8 = 8 > 0 \] Это минимум.

2. Для \( x = \sqrt{2} \): \[ y''(\sqrt{2}) = -12(\sqrt{2})^2 + 8 = -12(2) + 8 = -24 + 8 = -16 < 0 \] Это максимум.

3. Для \( x = -\sqrt{2} \): \[ y''(-\sqrt{2}) = -12(-\sqrt{2})^2 + 8 = -12(2) + 8 = -24 + 8 = -16 < 0 \] Это максимум.

Шаг 5: Значения функции в критических точках

Теперь найдем значения функции \( y \) в этих критических точках:

1. \( y(0) = 4(0)^2 - (0)^4 - 3 = -3 \) (минимум)
2. \( y(\sqrt{2}) = 4(2) - (2)^2 - 3 = 8 - 4 - 3 = 1 \) (максимум)
3. \( y(-\sqrt{2}) = y(\sqrt{2}) = 1 \) (максимум)

Результаты

• Минимум в точке \( x = 0 \) и значение \( y = -3 \).
• Максимумы в точках \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \) при значении \( y = 1 \).

Это решение позволяет увидеть, как мы можем анализировать многочлен и находить его экстремумы. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь по другим задачам, пишите!