Пусть сторона ромба равна ( a ), а высота, проведённая к этой стороне, равна ( h ). По условию задачи, отношения стороны к высоте составляет ( \frac{a}{h} = \frac{5}{3} ). Это можно записать как:
[
a = \frac{5}{3}h
]
Площадь ромба выражается через сторону и высоту следующим образом:
[
S = a \cdot h
]
Мы знаем, что площадь ромба ( S = 135 ) см². Подставим выражение для стороны из первого уравнения во второе:
[
135 = a \cdot h = \left(\frac{5}{3}h\right) \cdot h
]
Теперь упростим полученное уравнение:
[
135 = \frac{5}{3}h^2
]
Умножим обе стороны на 3:
[
405 = 5h^2
]
Теперь разделим обе стороны на 5:
[
h^2 = \frac{405}{5} = 81
]
Теперь найдём высоту ( h ):
[
h = \sqrt{81} = 9 \text{ см}
]
Теперь, зная высоту, можем найти сторону ( a ):
[
a = \frac{5}{3}h = \frac{5}{3} \cdot 9 = 15 \text{ см}
]
Таким образом, сторона ромба равна 15 см, а высота равна 9 см.
