Для решения уравнения ((x - 2)^2 - (x + 6)^2 = 2x^2) начнем с разложения квадратов и упрощения правой части. Вот подробное описанное решение:
Шаг 1: Разложение квадратов
Воспользуемся формулой разности квадратов:
[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
]
В нашем случае:
- (a = (x - 2))
- (b = (x + 6))
Тогда:
[
(x - 2)^2 - (x + 6)^2 = [(x - 2) - (x + 6)][(x - 2) + (x + 6)]
]
Шаг 2: Упрощение выражений
Теперь упростим:
- ((x - 2) - (x + 6) = x - 2 - x - 6 = -8)
- ((x - 2) + (x + 6) = x - 2 + x + 6 = 2x + 4)
Таким образом, у нас есть:
[
(x - 2)^2 - (x + 6)^2 = (-8)(2x + 4)
]
Шаг 3: Подстановка в уравнение
Теперь подставляем это в уравнение:
[
-8(2x + 4) = 2x^2
]
Шаг 4: Раскрытие скобок
Раскрываем скобки на левой стороне уравнения:
[
-16x - 32 = 2x^2
]
Шаг 5: Приведение к стандартному виду
Переписываем уравнение, чтобы все члены оказались на одной стороне:
[
2x^2 + 16x + 32 = 0
]
Шаг 6: Упрощение уравнения
Разделим каждое слагаемое на 2 для упрощения:
[
x^2 + 8x + 16 = 0
]
Шаг 7: Решение квадратного уравнения
Теперь решим это квадратное уравнение. Можно заметить, что оно является полным квадратом:
[
(x + 4)^2 = 0
]
Шаг 8: Нахождение корня
Корень у этого уравнения:
[
x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4
]
Ответ
Таким образом, единственный корень данного уравнения:
[
\boxed{-4}
]
Если есть дополнительные вопросы или необходимо углубить какие-либо моменты решения, не стесняйтесь спрашивать!
