Решите уравнение ( x − 2 ) 2 − ( x + 6 ) 2 = 2 x 2 (x−2) 2 −(x+6) 2 =2x 2
Для решения уравнения \((x - 2)^2 - (x + 6)^2 = 2x^2\) начнем с разложения квадратов и упрощения правой части. Вот подробное описанное решение:
Шаг 1: Разложение квадратов
Воспользуемся формулой разности квадратов: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] В нашем случае:
- \(a = (x - 2)\)
- \(b = (x + 6)\)
Тогда: \[ (x - 2)^2 - (x + 6)^2 = [(x - 2) - (x + 6)][(x - 2) + (x + 6)] \]
Шаг 2: Упрощение выражений
Теперь упростим:
- \((x - 2) - (x + 6) = x - 2 - x - 6 = -8\)
- \((x - 2) + (x + 6) = x - 2 + x + 6 = 2x + 4\)
Таким образом, у нас есть: \[ (x - 2)^2 - (x + 6)^2 = (-8)(2x + 4) \]
Шаг 3: Подстановка в уравнение
Теперь подставляем это в уравнение: \[ -8(2x + 4) = 2x^2 \]
Шаг 4: Раскрытие скобок
Раскрываем скобки на левой стороне уравнения: \[ -16x - 32 = 2x^2 \]
Шаг 5: Приведение к стандартному виду
Переписываем уравнение, чтобы все члены оказались на одной стороне: \[ 2x^2 + 16x + 32 = 0 \]
Шаг 6: Упрощение уравнения
Разделим каждое слагаемое на 2 для упрощения: \[ x^2 + 8x + 16 = 0 \]
Шаг 7: Решение квадратного уравнения
Теперь решим это квадратное уравнение. Можно заметить, что оно является полным квадратом: \[ (x + 4)^2 = 0 \]
Шаг 8: Нахождение корня
Корень у этого уравнения: \[ x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4 \]
Ответ
Таким образом, единственный корень данного уравнения: \[ \boxed{-4} \]
Если есть дополнительные вопросы или необходимо углубить какие-либо моменты решения, не стесняйтесь спрашивать!
