Давайте решим данное уравнение, чтобы заменить переменную ( x ) одночленом и получить тождество.
У нас есть равенство:
[
(2a - x)^2 = 4a^2 - 20ab + 25b^2
]
Шаг 1: Раскроем левую часть уравнения
Левую сторону раскроем:
[
(2a - x)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot x + x^2 = 4a^2 - 4ax + x^2
]
Шаг 2: Запишем равенство
Теперь уравнение будет выглядеть так:
[
4a^2 - 4ax + x^2 = 4a^2 - 20ab + 25b^2
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Отнимем ( 4a^2 ) с обеих сторон:
[
-4ax + x^2 = -20ab + 25b^2
]
Шаг 4: Приведем к стандартному виду
Перепишем уравнение, переместив всё на одну сторону:
[
x^2 - 4ax + 20ab - 25b^2 = 0
]
Шаг 5: Определим дискриминант
Это квадратное уравнение относительно ( x ). Мы определим дискриминант ( D ):
[
D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (20ab - 25b^2) = 16a^2 - 4(20ab - 25b^2)
]
Раскроем скобки:
[
D = 16a^2 - 80ab + 100b^2
]
Шаг 6: Группировка и факторизация
Наш дискриминант ( D ) можно перезаписать:
[
D = (4a - 5b)^2
]
Шаг 7: Найдем корни уравнения
Теперь найдем корни уравнения ( x^2 - 4ax + (20ab - 25b^2) = 0 ) с помощью формулы корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-(-4a) \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{4a \pm |4a - 5b|}{2}
]
Это ведет нас к двум возможным значениям для ( x ):
- ( x = \frac{4a + (4a - 5b)}{2} = \frac{8a - 5b}{2} = 4a - \frac{5b}{2} )
- ( x = \frac{4a - (4a - 5b)}{2} = \frac{5b}{2} )
Заключение
Таким образом, мы можем заменить ( x ):
- ( x = 4a - \frac{5b}{2} )
- Вариант по корню ( x = \frac{5b}{2} )
Теперь, подставляя любое из найденных значений, мы получим равенство, которое будет являться тождеством.
