Замените букву x одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством: (2a-x)²=4a²-20ab+25b²
Давайте решим данное уравнение, чтобы заменить переменную \( x \) одночленом и получить тождество.
У нас есть равенство:
\[ (2a - x)^2 = 4a^2 - 20ab + 25b^2 \]
Шаг 1: Раскроем левую часть уравнения
Левую сторону раскроем:
\[ (2a - x)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot x + x^2 = 4a^2 - 4ax + x^2 \]
Шаг 2: Запишем равенство
Теперь уравнение будет выглядеть так:
\[ 4a^2 - 4ax + x^2 = 4a^2 - 20ab + 25b^2 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Отнимем \( 4a^2 \) с обеих сторон:
\[ -4ax + x^2 = -20ab + 25b^2 \]
Шаг 4: Приведем к стандартному виду
Перепишем уравнение, переместив всё на одну сторону:
\[ x^2 - 4ax + 20ab - 25b^2 = 0 \]
Шаг 5: Определим дискриминант
Это квадратное уравнение относительно \( x \). Мы определим дискриминант \( D \):
\[ D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (20ab - 25b^2) = 16a^2 - 4(20ab - 25b^2) \]
Раскроем скобки:
\[ D = 16a^2 - 80ab + 100b^2 \]
Шаг 6: Группировка и факторизация
Наш дискриминант \( D \) можно перезаписать:
\[ D = (4a - 5b)^2 \]
Шаг 7: Найдем корни уравнения
Теперь найдем корни уравнения \( x^2 - 4ax + (20ab - 25b^2) = 0 \) с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-(-4a) \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{4a \pm |4a - 5b|}{2} \]
Это ведет нас к двум возможным значениям для \( x \):
- \( x = \frac{4a + (4a - 5b)}{2} = \frac{8a - 5b}{2} = 4a - \frac{5b}{2} \)
- \( x = \frac{4a - (4a - 5b)}{2} = \frac{5b}{2} \)
Заключение
Таким образом, мы можем заменить \( x \):
- \( x = 4a - \frac{5b}{2} \)
- Вариант по корню \( x = \frac{5b}{2} \)
Теперь, подставляя любое из найденных значений, мы получим равенство, которое будет являться тождеством.
