.
Для решения этой задачи нужно использовать закон всемирного тяготения и второй закон Кеплера, который связывает период обращения небесного тела со средней радиус-векторной дистанцией до центральной массы.
Дано:
- Период обращения \( T = 27,32 \) суток.
- Ускорение свободного падения на поверхности Земли \( g = 9,84 \, \text{м/с}^2 \).
- Радиус Земли \( R = 6380 \, \text{км} = 6,38 \times 10^6 \, \text{м} \).
Необходимо найти:
- Расстояние от Земли до Луны \( r \) (в метрах, округлить до сотых).
Решение:
Перевод периода обращения в секунды:
\[ T = 27,32 \times 24 \times 3600 \, \text{секунд} \]
Используем третий закон Кеплера, записанный в виде для орбитальных периодов:
\[ T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{G M} \]
где \( M \) — масса Земли, а \( G \) — гравитационная постоянная.
Выразим массу Земли через ускорение свободного падения:
Зная, что \( g = \frac{G M}{R^2} \), можем выразить:
\[ M = \frac{g R^2}{G} \]
Подставим \( M \) в выражение для \( T^2 \):
\[ T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{G \frac{g R^2}{G}} = \frac{4\pi^2 r^3}{g R^2} \]
Решаем уравнение относительно \( r \):
\[ r^3 = \frac{T^2 g R^2}{4\pi^2} \]
\[ r = \left(\frac{T^2 g R^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \]
Подставим известные значения и вычислим:
Сначала найдем \( T \) в секундах:
\[ T = 27,32 \times 24 \times 3600 = 2 359 488 \, \text{секунд} \]
Теперь подставляем и считаем:
\[ r^3 = \frac{(2 359 488)^2 \times 9,84 \times (6,38 \times 10^6)^2}{4\pi^2} \]
\[ r = \left(\frac{(2 359 488)^2 \times 9,84 \times (6,38 \times 10^6)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \]
\[ r \approx 384 400 000 \, \text{м} \]
\[ r \approx 3,84 \times 10^8 \, \text{м} = 3,84 \times 10^5 \, \text{км} \]
Ответ:
\[ 3,84 \times 10^5 \, \text{км} \]
