Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу каждый рабочий, если первый рабочий сделает это на 24 дня быстрее, чем второй?

Для решения данной задачи начнем с обозначений, которые помогут определить производительность каждого рабочего. 1. Обозначим количество дней, за которые второй рабочий выполнит работу, через \( x \). Значит, первый рабочий выполнит работу за \( x - 24 \) дня. 2. Теперь найдем производительность каждого рабочего: - Производительность второго рабочего: \( \frac{1}{x} \) (работа за день). - Производительность первого рабочего: \( \frac{1}{x - 24} \). 3. Когда оба рабочих работают вместе, их суммарная производительность составляет: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 24} \] 4. По условию задачи, вместе они выполняют работу за 9 дней, значит, их совместная производительность равна: \[ \frac{1}{9} \] 5. Составим уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 24} = \frac{1}{9} \] 6. Умножим все части уравнения на \( 9x(x - 24) \) для устранения дробей: \[ 9(x - 24) + 9x = x(x - 24) \] 7. Распределим и упростим уравнение: \[ 9x - 216 + 9x = x^2 - 24x \] \[ 18x - 216 = x^2 - 24x \] 8. Переносим все термины в одну сторону: \[ x^2 - 24x - 18x + 216 = 0 \] \[ x^2 - 42x + 216 = 0 \] 9. Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 216 = 1764 - 864 = 900 \] 10. Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 \pm 30}{2} \] \[ x_1 = \frac{72}{2} = 36, \quad x_2 = \frac{12}{2} = 6 \] 11. Значит, второй рабочий может выполнить работу за \( 36 \) дней, а первый за: \[ x - 24 = 36 - 24 = 12 \text{ дней}. \] **Ответ:** - Второй рабочий выполнит работу за 36 дней, а первый рабочий — за 12 дней.