Решить методом сложения

Давайте решим систему уравнений методом сложения:

У нас дана система:

\[ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14 \\ x^2 + 2y^2 = 18 \end{cases} \]

Шаг 1: Сложим оба уравнения.

\[ (x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = 14 + 18 \]

Сначала рассматриваем левые части уравнения:

\[ x^2 - 2y^2 + x^2 + 2y^2 = 2x^2 \]

Теперь правые части:

\[ 14 + 18 = 32 \]

Получаем новое уравнение:

\[ 2x^2 = 32 \]

Шаг 2: Найдем \(x^2\).

Разделим обе стороны уравнения на 2:

\[ x^2 = \frac{32}{2} = 16 \]

Следовательно, \(x = \pm 4\).

Шаг 3: Подставим значения \(x\) в одно из исходных уравнений и найдем \(y^2\).

Пусть \(x = 4\), подставляем в первое уравнение:

\[ 4^2 - 2y^2 = 14 \]

\[ 16 - 2y^2 = 14 \]

Из этого уравнения:

\[ -2y^2 = 14 - 16 = -2 \]

\[ 2y^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 1 \]

Следовательно, \(y = \pm 1\).

Таким образом, для \(x = 4\) получаем пары \((x, y): (4, 1)\) и \((4, -1)\).

Теперь рассмотрим \(x = -4\), аналогично:

\[ (-4)^2 - 2y^2 = 14 \]

\[ 16 - 2y^2 = 14 \]

\[ -2y^2 = -2 \quad \Rightarrow \quad 2y^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 1 \]

Следовательно, \(y = \pm 1\).

Для \(x = -4\) получаем пары \((x, y): (-4, 1)\) и \((-4, -1)\).

Ответ:
Решения системы: \((4, 1)\), \((4, -1)\), \((-4, 1)\), \((-4, -1)\).