Давайте решим систему уравнений методом сложения:
У нас дана система:
[
\begin{cases}
x^2 - 2y^2 = 14 \
x^2 + 2y^2 = 18
\end{cases}
]
Шаг 1: Сложим оба уравнения.
[
(x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = 14 + 18
]
Сначала рассматриваем левые части уравнения:
[
x^2 - 2y^2 + x^2 + 2y^2 = 2x^2
]
Теперь правые части:
[
14 + 18 = 32
]
Получаем новое уравнение:
[
2x^2 = 32
]
Шаг 2: Найдем (x^2).
Разделим обе стороны уравнения на 2:
[
x^2 = \frac{32}{2} = 16
]
Следовательно, (x = \pm 4).
Шаг 3: Подставим значения (x) в одно из исходных уравнений и найдем (y^2).
Пусть (x = 4), подставляем в первое уравнение:
[
4^2 - 2y^2 = 14
]
[
16 - 2y^2 = 14
]
Из этого уравнения:
[
-2y^2 = 14 - 16 = -2
]
[
2y^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 1
]
Следовательно, (y = \pm 1).
Таким образом, для (x = 4) получаем пары ((x, y): (4, 1)) и ((4, -1)).
Теперь рассмотрим (x = -4), аналогично:
[
(-4)^2 - 2y^2 = 14
]
[
16 - 2y^2 = 14
]
[
-2y^2 = -2 \quad \Rightarrow \quad 2y^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 1
]
Следовательно, (y = \pm 1).
Для (x = -4) получаем пары ((x, y): (-4, 1)) и ((-4, -1)).
Ответ:
Решения системы: ((4, 1)), ((4, -1)), ((-4, 1)), ((-4, -1)).
