Чтобы решить задачу, давайте обозначим два числа. Пусть одно число будет ( x ), а другое – ( y ). По условию задачи мы знаем две вещи:
Одно число на 11 меньше другого:
[
y = x - 11
]
Их произведение равно 126:
[
x \cdot y = 126
]
Теперь подставим первое уравнение во второе. Заменим ( y ) на ( x - 11 ) в уравнении произведения:
[
x \cdot (x - 11) = 126
]
Теперь раскроем скобки:
[
x^2 - 11x = 126
]
Теперь перенесем 126 на левую сторону уравнения, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
[
x^2 - 11x - 126 = 0
]
Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Для этого можно использовать формулу корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Где ( a = 1 ), ( b = -11 ), ( c = -126 ). Подставим эти значения в формулу:
Вычислим дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-126) = 121 + 504 = 625
]
Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Найдем их:
[
x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 25}{2}
]
Теперь вычислим оба корня:
- Первый корень:
[
x_1 = \frac{11 + 25}{2} = \frac{36}{2} = 18
]
- Второй корень:
[
x_2 = \frac{11 - 25}{2} = \frac{-14}{2} = -7
]
Теперь, зная ( x ), найдем ( y ) для каждого из корней:
Для ( x = 18 ):
[
y = x - 11 = 18 - 11 = 7
]
Для ( x = -7 ):
[
y = x - 11 = -7 - 11 = -18
]
Таким образом, у нас есть два возможных решения:
- Первое решение: ( x = 18 ), ( y = 7 ).
- Второе решение: ( x = -7 ), ( y = -18 ).
Но с учетом того, что задачи о числах обычно подразумевают неотрицательные числа, часто рассматривают только первое решение.
Ответ: 18 и 7.
