Одно число на 11 меньше другого, а их произведение равно 126. Найдите эти числа.

Чтобы решить задачу, давайте обозначим два числа. Пусть одно число будет \( x \), а другое – \( y \). По условию задачи мы знаем две вещи:

1. Одно число на 11 меньше другого: \[ y = x - 11 \]

2. Их произведение равно 126: \[ x \cdot y = 126 \]

Теперь подставим первое уравнение во второе. Заменим \( y \) на \( x - 11 \) в уравнении произведения:

\[ x \cdot (x - 11) = 126 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ x^2 - 11x = 126 \]

Теперь перенесем 126 на левую сторону уравнения, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

\[ x^2 - 11x - 126 = 0 \]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Для этого можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1 \), \( b = -11 \), \( c = -126 \). Подставим эти значения в формулу:

1. Вычислим дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-126) = 121 + 504 = 625 \]

2. Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Найдем их: \[ x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 25}{2} \]

3. Теперь вычислим оба корня:

   • Первый корень: \[ x_1 = \frac{11 + 25}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]
   • Второй корень: \[ x_2 = \frac{11 - 25}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

Теперь, зная \( x \), найдем \( y \) для каждого из корней:

1. Для \( x = 18 \): \[ y = x - 11 = 18 - 11 = 7 \]

2. Для \( x = -7 \): \[ y = x - 11 = -7 - 11 = -18 \]

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

• Первое решение: \( x = 18 \), \( y = 7 \).
• Второе решение: \( x = -7 \), \( y = -18 \).

Но с учетом того, что задачи о числах обычно подразумевают неотрицательные числа, часто рассматривают только первое решение.

Ответ: 18 и 7.