Давайте решим задачу шаг за шагом.
1. Обозначим двузначное число
Обозначим двузначное число как ( 10a + b ), где ( a ) — первая цифра (десятки), а ( b ) — вторая цифра (единицы).
Согласно условию, одна из цифр на 3 меньше другой. Мы можем предположить, что ( a = b + 3 ) (первая цифра больше второй на 3).
2. Рассмотрим число, полученное перестановкой цифр
Если мы переставим цифры, то получим число ( 10b + a ).
3. Запишем уравнение
По условию задачи, сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 1877. Значит:
[
(10a + b)^2 + (10b + a)^2 = 1877
]
4. Подставим ( a = b + 3 )
Теперь мы можем заменить ( a ) в уравнении:
[
(10(b + 3) + b)^2 + (10b + (b + 3))^2 = 1877
]
Упростим выражения:
[
(10b + 30 + b)^2 + (10b + b + 3)^2 = 1877
]
[
(11b + 30)^2 + (11b + 3)^2 = 1877
]
5. Раскрываем скобки
Теперь раскроем скобки:
[
(11b + 30)^2 = 121b^2 + 660b + 900
]
[
(11b + 3)^2 = 121b^2 + 66b + 9
]
Теперь выразим уравнение:
[
121b^2 + 660b + 900 + 121b^2 + 66b + 9 = 1877
]
[
242b^2 + 726b + 909 = 1877
]
6. Преобразуем уравнение
Теперь приведем подобные и упростим:
[
242b^2 + 726b + 909 - 1877 = 0
]
[
242b^2 + 726b - 968 = 0
]
7. Упростим уравнение
Разделим все коэффициенты на 242:
[
b^2 + 3b - 4 = 0
]
8. Решим квадратное уравнение
Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}
]
Где ( A = 1 ), ( B = 3 ), ( C = -4 ). Найдем дискриминант:
[
D = B^2 - 4AC = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
]
Теперь подставим в формулу:
[
b = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}
]
Это дает два корня:
- ( b = \frac{2}{2} = 1 )
- ( b = \frac{-8}{2} = -4 ) (не подходит, так как ( b ) не может быть отрицательным)
9. Найдём цифру ( a )
Поскольку ( b = 1 ), подставим его в значение ( a ):
[
a = b + 3 = 1 + 3 = 4
]
10. Запишем двузначное число
Теперь мы можем записать число:
[
10a + b = 10 \cdot 4 + 1 = 40 + 1 = 41
]
11. Проверка
Проверим:
- Перестановка цифр: ( 14 ).
- Сумма квадратов: ( 41^2 + 14^2 = 1681 + 196 = 1877 ).
Таким образом, искомое двузначное число:
[
\boxed{41}
]
