Одна из цифр двузначного числа на 3 меньше другой, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 1877. Найдите это число

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Обозначим двузначное число

Обозначим двузначное число как \( 10a + b \), где \( a \) — первая цифра (десятки), а \( b \) — вторая цифра (единицы).

Согласно условию, одна из цифр на 3 меньше другой. Мы можем предположить, что \( a = b + 3 \) (первая цифра больше второй на 3).

2. Рассмотрим число, полученное перестановкой цифр

Если мы переставим цифры, то получим число \( 10b + a \).

3. Запишем уравнение

По условию задачи, сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 1877. Значит: \[ (10a + b)^2 + (10b + a)^2 = 1877 \]

4. Подставим \( a = b + 3 \)

Теперь мы можем заменить \( a \) в уравнении: \[ (10(b + 3) + b)^2 + (10b + (b + 3))^2 = 1877 \]

Упростим выражения: \[ (10b + 30 + b)^2 + (10b + b + 3)^2 = 1877 \] \[ (11b + 30)^2 + (11b + 3)^2 = 1877 \]

5. Раскрываем скобки

Теперь раскроем скобки: \[ (11b + 30)^2 = 121b^2 + 660b + 900 \] \[ (11b + 3)^2 = 121b^2 + 66b + 9 \]

Теперь выразим уравнение: \[ 121b^2 + 660b + 900 + 121b^2 + 66b + 9 = 1877 \] \[ 242b^2 + 726b + 909 = 1877 \]

6. Преобразуем уравнение

Теперь приведем подобные и упростим: \[ 242b^2 + 726b + 909 - 1877 = 0 \] \[ 242b^2 + 726b - 968 = 0 \]

7. Упростим уравнение

Разделим все коэффициенты на 242: \[ b^2 + 3b - 4 = 0 \]

8. Решим квадратное уравнение

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} \] Где \( A = 1 \), \( B = 3 \), \( C = -4 \). Найдем дискриминант: \[ D = B^2 - 4AC = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] Теперь подставим в формулу: \[ b = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2} \] Это дает два корня:

1. \( b = \frac{2}{2} = 1 \)
2. \( b = \frac{-8}{2} = -4 \) (не подходит, так как \( b \) не может быть отрицательным)

9. Найдём цифру \( a \)

Поскольку \( b = 1 \), подставим его в значение \( a \): \[ a = b + 3 = 1 + 3 = 4 \]

10. Запишем двузначное число

Теперь мы можем записать число: \[ 10a + b = 10 \cdot 4 + 1 = 40 + 1 = 41 \]

11. Проверка

Проверим:

• Перестановка цифр: \( 14 \).
• Сумма квадратов: \( 41^2 + 14^2 = 1681 + 196 = 1877 \).

Таким образом, искомое двузначное число: \[ \boxed{41} \]