В треугольнике АВС угол С прямой, AC = 3 BC = 4 Найдите длину вектора ВС - АС.

В данной задаче нам нужно найти длину вектора \( \overline{BC} - \overline{AC} \) в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C является прямым, сторона \( AC = 3 \) и \( BC = 4 \).

Шаг 1: Понимание треугольника

В треугольнике ABC угол C прямой. Это означает, что стороны AC и BC являются катетами треугольника. Мы можем обозначить:

• \( AC = 3 \) (катет)
• \( BC = 4 \) (катет)

Шаг 2: Нахождение длины гипотенузы

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы \( AB \) равна: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \] Подставим известные значения: \[ AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Шаг 3: Определение векторов

Теперь, когда мы знаем длины сторон, можно перейти к вычислению вектора \( \overline{BC} - \overline{AC} \).

• Вектор \( \overline{AC} \) направлен от точки A к C и можно выразить его как \( \overline{AC} = (3, 0) \) (если считать, что A на координатной оси X).
• Вектор \( \overline{BC} \) направлен от точки B к C. Чтобы написать его векторное представление, нам нужно учесть, что:
  • \( BC = 4 \), и поскольку C находится выше A по вертикали, предположим, что B расположена в точке (0, 4).

Таким образом:

• Вектор \( \overline{BC} = \overline{C} - \overline{B} = (0 - 0, 0 - 4) = (0, -4) \)

Шаг 4: Вычисление вектора

Теперь подставляем векторы: \[ \overline{BC} - \overline{AC} = (0, -4) - (3, 0) = (0 - 3, -4 - 0) = (-3, -4) \]

Шаг 5: Найдите длину полученного вектора

Теперь необходимо найти длину полученного вектора \( (-3, -4) \): \[ \text{длина} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Таким образом, длина вектора \( \overline{BC} - \overline{AC} \) равна 5.

Ответ:

Длина вектора \( \overline{BC} - \overline{AC} \) равна 5.