Давай решим задачу шаг за шагом.
Условия задачи:
- Два землепашца (Иван и Григорий) могут вспахать поле за 2 часа вместе.
- Иван может закончить работу на 3 часа раньше, чем Григорий.
Шаг 1: Определение рабочих скоростей
Пусть время, которое потребуется Григорию для вспашки поля, обозначим как ( t ) часов. Значит, Иван завершает работу за ( t - 3 ) часа.
Если они работают вместе, их производительность (или скорость работы) складывается. Мы знаем, что вместе они могут вспахать поле за 2 часа. То есть их совместная скорость равна ( \frac{1}{2} ) поля за час.
Шаг 2: Запись скоростей
Теперь определим скорости каждого из землепашцев:
- Скорость Григория: ( \frac{1}{t} ) (он вспахивает поле за ( t ) часов).
- Скорость Ивана: ( \frac{1}{t - 3} ) (он вспахивает поле за ( t - 3 ) часов).
Шаг 3: Уравнение совокупной скорости
Сумма их скоростей равна 1/2 (т.е. они могут закончить поле за 2 часа):
[
\frac{1}{t} + \frac{1}{t - 3} = \frac{1}{2}
]
Шаг 4: Умножим на 2t(t - 3) чтобы избавиться от дробей
Правим уравнение:
[
2(t - 3) + 2t = t(t - 3)
]
Шаг 5: Раскроем скобки
[
2t - 6 + 2t = t^2 - 3t
]
[
4t - 6 = t^2 - 3t
]
Шаг 6: Переносим все в одну сторону
[
0 = t^2 - 3t - 4t + 6
]
[
0 = t^2 - 7t + 6
]
Шаг 7: Решение квадратного уравнения
Разложим выражение:
[
0 = (t - 6)(t - 1)
]
Шаг 8: Находим корни
Корни уравнения:
- ( t = 6 )
- ( t = 1 ) (но это значение не подходит, так как Григорий не может работать за 1 час, а Иван при этом работает за -2 часа, что невозможно).
Следовательно, ( t = 6 ).
Шаг 9: Находим время Ивана
Теперь, зная, что ( t = 6 ), найдем время работы Ивана:
[
t - 3 = 6 - 3 = 3 \text{ часа}
]
Ответ
Итак, Иван может закончить работу за 3 часа.
