В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами 2 и 2 корня из 2 и углом между ними в 45". Высота призмы равна 7. Найди площадь полной поверхности призмы, если третья…

Чтобы найти площадь полной поверхности прямой призмы, нужно учитывать площадь основания призмы и площадь боковых граней. Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем площадь основания призмы

В основании призмы лежит треугольник с двумя известными сторонами и углом между ними. У нас есть:

• \( a = 2 \) (первая сторона)
• \( b = 2\sqrt{2} \) (вторая сторона)
• \( \angle C = 45^\circ \) (угол между сторонами)

Для нахождения площади треугольника используем формулу: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \] Подставим известные значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) \]

Значение \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упрощаем: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 \]

Итак, площадь основания \(S_{осн} = 2\).

Шаг 2: Найдем площадь боковых граней

Площадь боковых граней прямой призмы равна периметру основания, умноженному на высоту и состоящему из 3 боковых граней (по количеству сторон треугольника).

Для начала рассчитаем третью сторону \(c\) с помощью теоремы косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \] Подставляем значения: \[ c^2 = 2^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) \] \[ c^2 = 4 + 8 - 8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ c^2 = 4 + 8 - 4\sqrt{2} \] Поскольку нам дано значение третьей стороны \(c = \frac{18}{7}\), можно убедиться, подходит ли оно.

Теперь найдем периметр: \[ P = a + b + c = 2 + 2\sqrt{2} + \frac{18}{7} \] Чтобы вычислить периметр, нужно привести дроби к одному виду: \[ P = 2 + 2\sqrt{2} + \frac{18}{7} \] Приведем к общему знаменателю (это обычно требует вычислений, приведем \(2\) и \(2\sqrt{2}\) к знаменателю 7): \[ P = \frac{14}{7} + \frac{14\sqrt{2}}{7} + \frac{18}{7} = \frac{14 + 14\sqrt{2} + 18}{7} = \frac{32 + 14\sqrt{2}}{7} \]

Следовательно, площадь боковых граней: \[ S_{бок} = P \cdot h = \frac{32 + 14\sqrt{2}}{7} \cdot 7 = 32 + 14\sqrt{2} \]

Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности: \[ S_{пол} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} \] Подставим ранее найденные значения: \[ S_{пол} = 2 \cdot 2 + (32 + 14\sqrt{2}) = 4 + 32 + 14\sqrt{2} = 36 + 14\sqrt{2} \]

Ответ

Площадь полной поверхности призмы составляет \(36 + 14\sqrt{2}\).