Чтобы найти площадь полной поверхности прямой призмы, нужно учитывать площадь основания призмы и площадь боковых граней. Давайте решим задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Найдем площадь основания призмы
В основании призмы лежит треугольник с двумя известными сторонами и углом между ними. У нас есть:
- ( a = 2 ) (первая сторона)
- ( b = 2\sqrt{2} ) (вторая сторона)
- ( \angle C = 45^\circ ) (угол между сторонами)
Для нахождения площади треугольника используем формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)
]
Подставим известные значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)
]
Значение (\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}), поэтому:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Упрощаем:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2
]
Итак, площадь основания (S_{осн} = 2).
Шаг 2: Найдем площадь боковых граней
Площадь боковых граней прямой призмы равна периметру основания, умноженному на высоту и состоящему из 3 боковых граней (по количеству сторон треугольника).
Для начала рассчитаем третью сторону (c) с помощью теоремы косинусов:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)
]
Подставляем значения:
[
c^2 = 2^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)
]
[
c^2 = 4 + 8 - 8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
]
[
c^2 = 4 + 8 - 4\sqrt{2}
]
Поскольку нам дано значение третьей стороны (c = \frac{18}{7}), можно убедиться, подходит ли оно.
Теперь найдем периметр:
[
P = a + b + c = 2 + 2\sqrt{2} + \frac{18}{7}
]
Чтобы вычислить периметр, нужно привести дроби к одному виду:
[
P = 2 + 2\sqrt{2} + \frac{18}{7}
]
Приведем к общему знаменателю (это обычно требует вычислений, приведем (2) и (2\sqrt{2}) к знаменателю 7):
[
P = \frac{14}{7} + \frac{14\sqrt{2}}{7} + \frac{18}{7} = \frac{14 + 14\sqrt{2} + 18}{7} = \frac{32 + 14\sqrt{2}}{7}
]
Следовательно, площадь боковых граней:
[
S_{бок} = P \cdot h = \frac{32 + 14\sqrt{2}}{7} \cdot 7 = 32 + 14\sqrt{2}
]
Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности:
[
S_{пол} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}
]
Подставим ранее найденные значения:
[
S_{пол} = 2 \cdot 2 + (32 + 14\sqrt{2}) = 4 + 32 + 14\sqrt{2} = 36 + 14\sqrt{2}
]
Ответ
Площадь полной поверхности призмы составляет (36 + 14\sqrt{2}).
