Сколько элементарных событий в серии из 12 испытаний Бернулли благоприятствует 9 успехам

Чтобы понять, сколько элементарных событий в серии из 12 испытаний Бернулли благоприятствует 9 успехам, нужно использовать формулу комбинаторики для нахождения количества способов, которыми можно выбрать 9 успехов из 12 попыток.

Шаг 1: Понимание испытаний Бернулли

Испытания Бернулли — это испытания с двумя возможностями: успех (например, выигрыш) и неудача (например, проигрыш). В данном случае мы предполагаем, что у нас есть 12 таких испытаний и мы хотим, чтобы произошло ровно 9 успехов.

Шаг 2: Использование биномиального коэффициента

Количество способов выбрать k успехов из n испытаний можно выразить с помощью биномиального коэффициента: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где:

• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( k \) — количество успехов,
• \( ! \) обозначает факториал (например, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)).

Шаг 3: Подстановка значений

Для нашего случая \( n = 12 \) и \( k = 9 \): \[ C(12, 9) = \frac{12!}{9!(12-9)!} = \frac{12!}{9! \cdot 3!} \]

Шаг 4: Вычисление факториалов

Теперь давайте вычислим необходимые факториалы:

• \( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9! \) (обратите внимание, что \( 9! \) сокращается)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

Теперь подставим значения в формулу: \[ C(12, 9) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} \]

Шаг 5: Упрощение

Выполним расчеты:

1. \( 12 \times 11 = 132 \)
2. \( 132 \times 10 = 1320 \)
3. Разделим на 6: \[ \frac{1320}{6} = 220 \]

Итог

Таким образом, количество элементарных событий, благоприятствующих 9 успехам в 12 испытаниях Бернулли, равно 220.