Чтобы понять, сколько элементарных событий в серии из 12 испытаний Бернулли благоприятствует 9 успехам, нужно использовать формулу комбинаторики для нахождения количества способов, которыми можно выбрать 9 успехов из 12 попыток.
Шаг 1: Понимание испытаний Бернулли
Испытания Бернулли — это испытания с двумя возможностями: успех (например, выигрыш) и неудача (например, проигрыш). В данном случае мы предполагаем, что у нас есть 12 таких испытаний и мы хотим, чтобы произошло ровно 9 успехов.
Шаг 2: Использование биномиального коэффициента
Количество способов выбрать k успехов из n испытаний можно выразить с помощью биномиального коэффициента:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n ) — общее количество испытаний,
- ( k ) — количество успехов,
- ( ! ) обозначает факториал (например, ( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 )).
Шаг 3: Подстановка значений
Для нашего случая ( n = 12 ) и ( k = 9 ):
[
C(12, 9) = \frac{12!}{9!(12-9)!} = \frac{12!}{9! \cdot 3!}
]
Шаг 4: Вычисление факториалов
Теперь давайте вычислим необходимые факториалы:
- ( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9! ) (обратите внимание, что ( 9! ) сокращается)
- ( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 )
Теперь подставим значения в формулу:
[
C(12, 9) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6}
]
Шаг 5: Упрощение
Выполним расчеты:
- ( 12 \times 11 = 132 )
- ( 132 \times 10 = 1320 )
- Разделим на 6:
[
\frac{1320}{6} = 220
]
Итог
Таким образом, количество элементарных событий, благоприятствующих 9 успехам в 12 испытаниях Бернулли, равно 220.
