2**(2х+3)+8*3**x-3>=0

Давайте решим неравенство \( 2(2x+3) + 8 \cdot 3^x - 3 \geq 0 \) шаг за шагом.

Шаг 1: Раскроем скобки

Начнем с раскрытия скобок в первой части неравенства:

\[ 2(2x + 3) = 2 \cdot 2x + 2 \cdot 3 = 4x + 6 \]

Теперь подставим это выражение в неравенство:

\[ 4x + 6 + 8 \cdot 3^x - 3 \geq 0 \]

Шаг 2: Упростим неравенство

Теперь упростим левую часть:

\[ 4x + 6 - 3 = 4x + 3 \]

Таким образом, неравенство принимает вид:

\[ 4x + 3 + 8 \cdot 3^x \geq 0 \]

Шаг 3: Перегруппируем выражение

Теперь можно переставить элементы, чтобы выделить все, что зависит от \(x\):

\[ 8 \cdot 3^x + 4x + 3 \geq 0 \]

Шаг 4: Анализ неравенства

Это неравенство можно проанализировать, наблюдая за двумя слагаемыми: \(8 \cdot 3^x\) и \(4x + 3\).

• Первое слагаемое \(8 \cdot 3^x\) возрастает экспоненциально и всегда положительное для всех \(x\).
• Второе слагаемое \(4x + 3\) — это линейная функция, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от \(x\).

Шаг 5: Решим линейное уравнение

Чтобы понять, при каких значениях \(x\) сумма будет больше или равна нулю, рассмотрим, когда \(4x + 3\) равняется нулю:

\[ 4x + 3 = 0 \\ 4x = -3 \\ x = -\frac{3}{4} \]

Шаг 6: Тестируем значения

Теперь определим, как ведет себя \(8 \cdot 3^x + 4x + 3\) при значениях \(x\):

• При \(x < -\frac{3}{4}\):
  • \(4x + 3 < 0\): эта часть отрицательная, но \(8 \cdot 3^x\) может быть меньше, чем по абсолютной величине.
• При \(x = -\frac{3}{4}\):
  • Подстановка \(x = -\frac{3}{4}\): как мы уже рассчитали, это значение равно нулю.
• При \(x > -\frac{3}{4}\):
  • \(4x + 3 > 0\): эта часть положительная и увеличивается линейно, а \(8 \cdot 3^x\) также остается положительным.

Таким образом, неравенство выполняется при \(x \geq -\frac{3}{4}\).

Ответ

Итак, решением неравенства \( 2(2x+3) + 8 \cdot 3^x - 3 \geq 0 \) является:

\[ x \geq -\frac{3}{4} \]