2**(2х+3)+8*3**x-3>=0

Давайте решим неравенство \( 2(2x+3) + 8 \cdot 3^x - 3 \geq 0 \) шаг за шагом. ### Шаг 1: Раскроем скобки Начнем с раскрытия скобок в первой части неравенства: \[ 2(2x + 3) = 2 \cdot 2x + 2 \cdot 3 = 4x + 6 \] Теперь подставим это выражение в неравенство: \[ 4x + 6 + 8 \cdot 3^x - 3 \geq 0 \] ### Шаг 2: Упростим неравенство Теперь упростим левую часть: \[ 4x + 6 - 3 = 4x + 3 \] Таким образом, неравенство принимает вид: \[ 4x + 3 + 8 \cdot 3^x \geq 0 \] ### Шаг 3: Перегруппируем выражение Теперь можно переставить элементы, чтобы выделить все, что зависит от \(x\): \[ 8 \cdot 3^x + 4x + 3 \geq 0 \] ### Шаг 4: Анализ неравенства Это неравенство можно проанализировать, наблюдая за двумя слагаемыми: \(8 \cdot 3^x\) и \(4x + 3\). - **Первое слагаемое** \(8 \cdot 3^x\) возрастает экспоненциально и всегда положительное для всех \(x\). - **Второе слагаемое** \(4x + 3\) — это линейная функция, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от \(x\). ### Шаг 5: Решим линейное уравнение Чтобы понять, при каких значениях \(x\) сумма будет больше или равна нулю, рассмотрим, когда \(4x + 3\) равняется нулю: \[ 4x + 3 = 0 \\ 4x = -3 \\ x = -\frac{3}{4} \] ### Шаг 6: Тестируем значения Теперь определим, как ведет себя \(8 \cdot 3^x + 4x + 3\) при значениях \(x\): - При \(x < -\frac{3}{4}\): - \(4x + 3 < 0\): эта часть отрицательная, но \(8 \cdot 3^x\) может быть меньше, чем по абсолютной величине. - При \(x = -\frac{3}{4}\): - Подстановка \(x = -\frac{3}{4}\): как мы уже рассчитали, это значение равно нулю. - При \(x > -\frac{3}{4}\): - \(4x + 3 > 0\): эта часть положительная и увеличивается линейно, а \(8 \cdot 3^x\) также остается положительным. Таким образом, неравенство выполняется при \(x \geq -\frac{3}{4}\). ### Ответ Итак, решением неравенства \( 2(2x+3) + 8 \cdot 3^x - 3 \geq 0 \) является: \[ x \geq -\frac{3}{4} \]