2^(2x+1) +8×3^х -3>=0

Решим неравенство \( 2^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \geq 0 \) пошагово.

Шаг 1: Упрощение выражения

Сначала упростим выражение. Мы можем переписать часть неравенства:

\[ 2^{2x+1} = 2 \cdot (2^x)^2 \]

Таким образом, неравенство принимает вид:

\[ 2 \cdot (2^x)^2 + 8 \cdot 3^x - 3 \geq 0 \]

Шаг 2: Ввод новых переменных

Для удобства введем новые переменные:

• Пусть \( y = 2^x \)
• Пусть \( z = 3^x \)

Теперь наше неравенство можно переписать следующим образом:

\[ 2y^2 + 8z - 3 \geq 0 \]

Шаг 3: Связь между \(y\) и \(z\)

Важно отметить, что \( y \) и \( z \) зависят от \( x \). Мы знаем, что \( z \) можно выразить через \( y \):

\[ z = \left(\frac{3}{2}\right)^x \cdot y \]

Это значит, что в общем случае \( z \) увеличивается быстрее, чем \( y \), так как основание 3 больше основания 2.

Шаг 4: Анализ неравенства

Теперь подставим \( z \) в неравенство:

\[ 2y^2 + 8\left(\frac{3}{2}\right)^x y - 3 \geq 0 \]

Это неравенство можно решить численно или графически. Поэтому мы можем действовать иначе, проанализировав поведение функции.

Шаг 5: Исследование функции

Имеем:

\[ f(x) = 2^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \]

Теперь найдем, когда \( f(x) \geq 0 \).

Шаг 6: Нахождение корней

Для нахождения корней можно попробовать различные значения \( x \):

1. Давайте подставим \( x = 0 \): \[ f(0) = 2^{2 \cdot 0 + 1} + 8 \cdot 3^0 - 3 = 2^1 + 8 \cdot 1 - 3 = 2 + 8 - 3 = 7 \quad (\text{позитивно)} \]

2. Подставим \( x = -1 \): \[ f(-1) = 2^{2 \cdot (-1) + 1} + 8 \cdot 3^{-1} - 3 = 2^{-1} + 8 \cdot \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{2} + \frac{8}{3} - 3 \] Найдем общий знаменатель: \[ = \frac{3}{6} + \frac{16}{6} - \frac{18}{6} = \frac{3 + 16 - 18}{6} = \frac{1}{6} \quad (\text{позитивно}) \]

3. Теперь проверим \( x = -2 \): \[ f(-2) = 2^{2 \cdot (-2) + 1} + 8 \cdot 3^{-2} - 3 = 2^{-3} + 8 \cdot \frac{1}{9} - 3 \] \[ = \frac{1}{8} + \frac{8}{9} - 3 \] Находим общий знаменатель 72: \[ = \frac{9}{72} + \frac{64}{72} - \frac{216}{72} = \frac{9 + 64 - 216}{72} = -\frac{143}{72} \quad (\text{негативно}) \]

Шаг 7: Решение неравенства

Из анализа видно, что функция \( f(x) \) имеет положительные значения на интервале около \( x \geq -1 \). На основе этого, решением неравенства будет:

\[ x \in \left[-1, +\infty\right) \]

Ответ:

Неравенство \( 2^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \geq 0 \) выполняется при \( x \geq -1 \).