Катер прошел 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему бы потребовалось бы, если бы он шел 22 км по озеру. Какова собственная…
Катер прошел 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему бы потребовалось бы, если бы он шел 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч
Обозначим собственную скорость катера за \( v \) км/ч.
- Время в пути против течения и по течению:
- Скорость катера против течения: \( v - 2 \) км/ч.
- Скорость катера по течению: \( v + 2 \) км/ч.
Теперь найдем время, затраченное на каждую часть пути:
- Время против течения (15 км): \[ t_1 = \frac{15}{v - 2} \]
- Время по течению (6 км): \[ t_2 = \frac{6}{v + 2} \]
Общее время, затраченное на путь: \[ t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{15}{v - 2} + \frac{6}{v + 2} \]
Время на пути по озеру: Путь по озеру составляет 22 км, и его время определяется как: \[ t_{lake} = \frac{22}{v} \]
Составим уравнение:
Согласно условию задачи, время, затраченное на путь против и по течению, равно времени, затраченному на путь по озеру: \[ \frac{15}{v - 2} + \frac{6}{v + 2} = \frac{22}{v} \]Упростим уравнение:
Умножим обе стороны уравнения на \( v(v - 2)(v + 2) \): \[ 15v(v + 2) + 6v(v - 2) = 22(v - 2)(v + 2) \]
Раскроем скобки: \[ 15v^2 + 30v + 6v^2 - 12v = 22(v^2 - 4) \] \[ 21v^2 + 18v = 22v^2 - 88 \]
Переносим все в одну сторону: \[ 0 = 22v^2 - 21v^2 - 18v - 88 \] \[ 0 = v^2 - 18v - 88 \] \[ v^2 - 18v - 88 = 0 \]
- Решим квадратное уравнение:
Используя формулу дискриминанта: \[ D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-88) = 324 + 352 = 676 \] Корни уравнения: \[ v = \frac{18 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{18 \pm 26}{2} \] \[ v_1 = \frac{44}{2} = 22, \quad v_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]
Собственная скорость катера не может быть отрицательной, поэтому: \[ v = 22 \text{ км/ч} \]
Ответ: Собственная скорость катера составляет 22 км/ч.
