Давайте заполним пропуски в предложениях и определим, к каким частям речи относятся выделенные слова.
Солнце светило (по)зимнему (не)ярко. (По)зимнему небу плыли снеговые облака. — Выделенные слова: "по зимнему" — наречие, "не" — частица (в данном случае отрицательная).
Когда лыжники вышли на место прежней стоянки, там всё было (по)старому. Лыжники шли (по)старому следу, проложенному многими группами. — Выделенные слова: "по старому" — наречие, "по" — предлог.
Солнце садилось, но туристы (по)прежнему шли (не) останавливаясь. (По)прежнему пути идти было легче. — Выделенные слова: "по прежнему" — наречие, "по" — предлог.
Шли дожди (по)этому река разлилась. (По)этому мостику местные жители давно уже (не) ходят. — Выделенные слова: "по этому" — предлог с указательным местоимением, "по" — предлог, "не" — частица.
Охотники устали и (по)тому с удовольствием заночевали у лесника. Мы шли (по)тому берегу реки, по которому проходила дорога. — Выделенные слова: "по тому" — предлог с указательным местоимением, "по" — предлог.
Теперь о омонимах: В данном контексте слова "по" из разных фраз имеют разные значения, поэтому не являются омонимами. И слова с частицей "не" в данном контексте выполняют свою функцию как частицы, но не являются омонимами, так как они образуют отрицание.
Итак, ответ на вопрос о омонимах: выделенные слова не являются омонимами.