построить график функции y=x^2-10x+25
Для построения графика и решения задачи, давайте разберемся с функцией:
Функция дана в кусочной форме:
- \( y = x^2 - 10x + 25 \), если \( x \geq 4 \)
- \( y = x - 2 \), если \( x < 4 \)
Шаги решения
Построим первую часть: \( y = x^2 - 10x + 25 \) для \( x \geq 4 \):
Это квадратная функция. Преобразуем её в каноническую форму.
\[ y = (x - 5)^2 \]
Это парабола с вершиной в точке \( (5, 0) \), которая открывается вверх. Нам нужно построить её только на интервале \( x \geq 4 \).
Построим вторую часть: \( y = x - 2 \) для \( x < 4 \):
Это линейная функция. Прямая линия с угловым коэффициентом 1 и пересечением с осью \( y \) в точке \( -2 \).
Сопряжение частей:
Проверим, как функции соединяются в точке \( x = 4 \):
- Подставим \( x = 4 \) в первую часть: \( y = 4^2 - 10 \times 4 + 25 = 16 - 40 + 25 = 1 \).
- Подставим \( x = 4 \) во вторую часть: \( y = 4 - 2 = 2 \).
В точке \( x = 4 \) куски функции не совпадают, что означает разрыв в 1 единицу.
Найдем значение параметра \( m \), при котором прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки:
Прямая \( y = m \) пересечет обе части:
Сначала рассмотрим первую часть: \( (x - 5)^2 = m \). \[ x = 5 \pm \sqrt{m} \] Для реальных решений \( m \geq 0 \).
Рассмотрим вторую часть: \( x - 2 = m \). \[ x = m + 2 \]
Теперь найдем, при каком \( m \) прямая пересечет график ровно дважды:
- Для \( m = 0 \): первая часть имеет один корень \( x = 5 \), вторая часть \( x = 2 \).
Для \( m = 1 \), график пересчется в \( x = 4 \) на второй части (одна точка пересечения), и \( x = 6 \) на первой части (вторая точка пересечения).
Таким образом, при \( m = 1 \) прямая имеет ровно две общие точки с графиком функции.
Рекомендуем нарисовать график, учитывая разрыв в точке \( x = 4 \), чтобы визуально это подтвердить.
