Реши

Давайте разберёмся с задачей по нахождению производной функции, представленной на изображении. У нас две функции, для каждой из которых нужно найти производную.

1. Производная от \( f(x) = \frac{1}{3} x^3 + 2x^2 - 4 \):

Чтобы найти производную функции, используем правила дифференцирования. Основные правила, которые здесь понадобятся:

• Производная от \( x^n \) равна \( n \cdot x^{n-1} \).
• Производная от константы (числа) равна 0.
• Производная от суммы функций равна сумме производных.

Решение:

• Производная от \( \frac{1}{3} x^3 \) равна \( \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^{3-1} = x^2 \).
• Производная от \( 2x^2 \) равна \( 2 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = 4x \).
• Производная от константы \(-4\) равна 0.

Итак, производная функции \( f(x) = \frac{1}{3} x^3 + 2x^2 - 4 \) равна:

\[ f'(x) = x^2 + 4x \]

2. Производная от \( g(t) = \sqrt{t} + t^7 \):

Опять используем основные правила дифференцирования. Учтём, что:

• Производная от \( \sqrt{t} \), которую можно записать как \( t^{\frac{1}{2}} \), равна \( \frac{1}{2} \cdot t^{-\frac{1}{2}} \).
• Производная от \( t^7 \) равна \( 7 \cdot t^{7-1} = 7t^6 \).

Решение:

• Производная от \( \sqrt{t} \) будет \( \frac{1}{2} t^{-\frac{1}{2}} \). Это можно также записать как \( \frac{1}{2\sqrt{t}} \).
• Производная от \( t^7 \) равна \( 7t^6 \).

Таким образом, производная функции \( g(t) = \sqrt{t} + t^7 \) равна:

\[ g'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} + 7t^6 \]

Если есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!